કોઈ $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે, જો અતિવલય $x^{2}-y^{2} \sec ^{2} \theta=10$ ની ઉત્કેન્દ્ર્તા એ ઉપવલય $x^{2} \sec ^{2} \theta+y^{2}=5$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કરતાં $\sqrt{5}$ ગણી હોય તો ઉપવલયની નાભીલંબની લંબાઇ શોધો.

ઉપવલય ${x^2} + 3{y^2} = 6$ ના સ્પર્શક પર આ ઉપવલયના કેન્દ્રમાંથી દોરેલા લંબપાદનો બિંદુપથ મેળવો.

ધારોકે રેખા $2 x+3 y-\mathrm{k}=0, \mathrm{k}>0$ એ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ ને અનુક્રમે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. જો રેખા ખંડ $A B$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા બનતા વર્તુળ સમીકરણ $x^2+y^2-3 x-2 y=0$ હોય અને ઉપવલય $x^2+9 y^2=\mathrm{k}^2$ ના નાભિલંબ ની લંબાઈ $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ હોય, જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજય છે, તો $2 m+n=$ ………..

ઉપવલય $\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$ ની નાભિ અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $( \pm 5,0)$ અને $\sqrt{50}$ છે, તો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2 b^2}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વર્ગ……………………. 

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,\,\left( {a\,\, < \,\,b} \right)$ ની બે નાભિઓ $S$ અને $S'$ હોય અને જો ઉપવલય અને ઉપવલય પરનું બિંદુ $P\ (x_1, y_1)$ હોય તો $SP + S'P = ……$