एक अनभिनत (unbiased) पासे को दो बार उछाला गया। मान लें $A$ घटना 'पहली उछाल पर विषम संख्या प्राप्त होना' और $B$ घटना 'द्वितीय उछाल पर विषम संख्या प्राप्त होना ' दर्शाते हैं। घटनाओं $A$ और $B$ के स्वातंत्र्य का परीक्षण कीजिए।
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If all the $36$ elementary events of the experiment are considered to be equally likely, we have
$P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$ and $P(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$
Also $P(A \cap B)=P($ odd number on both throws $)$
$=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
Now $\mathrm{P}(\mathrm{A}) \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
Clearly $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})$
Thus, $A$ and $B$ are independent events
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किसी निश्चित जनसंख्या में $10\%$ मनुष्य धनी हैं, $5\%$ प्रसिद्ध है और $3\%$ धनी व प्रसिद्ध है। इस जनसंख्या में से एक व्यक्ति को यदृच्छया चुनने की प्रायिकता, जो या तो धनी या प्रसिद्ध हो लेकिन दोनों न हो, है
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तीन समुच्चयों (sets) $E _1=\{1,2,3\}, F _1=\{1,3,4\}$ और $G _1=\{2,3,4,5\}$ पर विचार कीजिए। समुच्चय $E _1$ से दो अवयवों (elements) को बिना प्रतिस्थापित किए (without replacement) यादृच्छया (randomly) चुना जाता है, और मान लीजिए कि $S _1$ इन चुने हए अवयवों के समुच्चय को निरूपित करता है। मान लोजिए कि $E _2= E _1- S _1$ तथा $F _2= F _1 \cup S _1$ हैं। अब समुच्चय $F _2$ से दो अवयवों को बिना प्रतिस्थापित किए यादृच्छया चुना जाता है, और मान लीजिए कि $S _2$ इन चुने हुए अवयवों के समुच्चय को निरूपित करता है। मान लीजिए कि $G _2= G _1 \cup S _2$ है। अंततः समुच्चय $G _2$ से दो अवयवों को बिना प्रतिस्थापित किए यादृच्छया चुना जाता है, और मान लीजिए कि $S _3$ इन चुने हुए अवयवों के समुच्चय को निरूपित करता है। मान लीजिए कि $E _3= E _2 \cup S _3$ है। घटना $E _1= E _3$ के ज्ञात होने पर, मान लीजिए कि $p$, घटना $S _1=\{1,2\}$ की सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) को निरूपित करता है। तब $p$ का मान है
तीन समुच्चयों (sets) $E _1=\{1,2,3\}, F _1=\{1,3,4\}$ और $G _1=\{2,3,4,5\}$ पर विचार कीजिए। समुच्चय $E _1$ से दो अवयवों (elements) को बिना प्रतिस्थापित किए (without replacement) यादृच्छया (randomly) चुना जाता है, और मान लीजिए कि $S _1$ इन चुने हए अवयवों के समुच्चय को निरूपित करता है। मान लोजिए कि $E _2= E _1- S _1$ तथा $F _2= F _1 \cup S _1$ हैं। अब समुच्चय $F _2$ से दो अवयवों को बिना प्रतिस्थापित किए यादृच्छया चुना जाता है, और मान लीजिए कि $S _2$ इन चुने हुए अवयवों के समुच्चय को निरूपित करता है। मान लीजिए कि $G _2= G _1 \cup S _2$ है। अंततः समुच्चय $G _2$ से दो अवयवों को बिना प्रतिस्थापित किए यादृच्छया चुना जाता है, और मान लीजिए कि $S _3$ इन चुने हुए अवयवों के समुच्चय को निरूपित करता है। मान लीजिए कि $E _3= E _2 \cup S _3$ है। घटना $E _1= E _3$ के ज्ञात होने पर, मान लीजिए कि $p$, घटना $S _1=\{1,2\}$ की सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) को निरूपित करता है। तब $p$ का मान है
- [IIT 2021]
यदि $P(B) = \frac{3}{4}$, $P(A \cap B \cap \bar C) = \frac{1}{3}{\rm{ }}$ तथा $P(\bar A \cap B \cap \bar C) = \frac{1}{3},$ तब $P(B \cap C)$ का मान है
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- [IIT 2003]
$52$ ताशों की एक गड्डी से एक ताश निकाला जाता है। एक जुआरी शर्त लगाता है कि यह हुकुम का पत्ता है या इक्का उसके इस शर्त को जीतने के प्रतिकूल संयोगानुपात है
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$A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ $P ( A )=0.3, P ( B )=0.6$ तो $P ( A$ और $B$ ) का मान ज्ञात कीजिए।
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