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अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके प्रश्न का उत्तर दें। माना कि वृत्त (circle) $C_1: x^2+y^2=9$ और वृत्त $C_2:(x-3)^2+(y-4)^2=16$ एक दूसरे को बिन्दुओं $X$ और $Y$ पर काटते हैं। माना लीजिये एक और वृत्त $C _3:( x - h )^2+( y - k )^2= r ^2$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है :
$(i)$ $C _3$ का केंद्र (centre) $C _1$ और $C _2$ के केन्द्रों के सरेख (Collinear) है।
$(ii)$ $C _1$ और $C _2$ दोनों $C _3$ के अन्दर हैं और
$(iii)$ $C _3, C _1$ को $M$ और $C _2$ को $N$ पर स्पर्श करता है।
माना कि $X$ और $Y$ से होकर जाने वाली रेखा $C _3$ को $Z$ और $W$ पर काटती है तथा $C _1$ और $C _3$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (Common tangent) परवलय $x ^2=8 \alpha y$ की स्पर्श रेखा है।
सूची-$I$($List-I$) में कुछ व्यंजक (expression) हैं जिनका मान नीचे दी गयी सूची-$II$($List-II$) में है
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(I)$ $2 h + k$ | $(P)$ $6$ |
| $(II)$ $ZW$ की लंबाई \ $XY$ की लंबाई | $(Q)$ $\sqrt{6}$ |
| $(III)$ त्रिभुज $MZN$ का क्षेत्र फल $ZMW$ | $(R)$ $\frac{5}{4}$ |
| $(IV)$ $\alpha$ | $(S)$ $\frac{21}{5}$ |
| $(T)$ $2 \sqrt{6}$ | |
| $(U)$ $\frac{10}{3}$ |
($1$) निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन गलत है ?
$(1) (IV), (S)$ $(2) (IV), (U)$ $(3) (III), (R)$ $(4) (I), (P)$
($2$) निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन सही है ?
$(1) (II), (T)$ $(2) (I), (S)$ $(3) (I), (U)$ $(4) (II), (Q)$
Give the answer or quetion ($1$) and ($2$)
$1,4$
$1,3$
$1,2$
$2,4$
Solution
(image)
$MC _1+ C _1 C _2+ C _2 N =2 r$
$\Rightarrow 3+5+4=2 r \Rightarrow r =6 \Rightarrow \text { Radius of } C _3=6$
Suppose centre of $C_3$ be $\left(0+r_4 \cos \theta, 0+r_4 \sin \theta\right),\left\{\begin{array}{l}r_4=C_1 C_3=3 \\ \tan \theta=\frac{4}{3}\end{array}\right\}$
$C _3=\left(\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)=( h , k ) \Rightarrow 2 h + k =6$
Equation of $ZW$ and $XY$ is $3 x +4 y -9=0$
(common chord of circle $C _1=0$ and $C _2=0$ )
$ZW =2 \sqrt{ r ^2- p ^2}=\frac{24 \sqrt{6}}{5}$ (where $r =6$ and $p =\frac{6}{5}$ )
(image)
$XY =2 \sqrt{ r _1^2- p _1^2}=\frac{24}{5}$ (where $r _1=3$ and $p _1=\frac{9}{5}$ )
(image)
$\frac{\text { Length of } ZW }{\text { Length of } XY }=\sqrt{6}$
Let length of perpendicular from $M$ to $ZW$ be $\lambda, \lambda=3+\frac{9}{5}=\frac{24}{5}$
$\frac{\text { Area of } \triangle MZN }{\text { Area of } \triangle ZMW }=\frac{\frac{1}{2}( MN ) \times \frac{1}{2}( ZW )}{\frac{1}{2} \times ZW \times \lambda}=\frac{1}{2} \frac{ MN }{\lambda}=\frac{5}{4}$
$C_3:\left(x-\frac{9}{5}\right)^2+\left(y-\frac{12}{5}\right)^2=6^2$
$C_1: x^2+y^2-9=0$
common tangent to $C _1$ and $C _3$ is common chord of $C _1$ and $C _3$ is $3 x +4 y +15=0$.
Now $3 x+4 y+15=0$ is tangent to parabola $x^2=8 \alpha y$.
$x ^2=8 \alpha\left(\frac{-3 x -15}{4}\right) \Rightarrow 4 x ^2+24 \alpha x +120 \alpha=0$
$D =0 \Rightarrow \alpha=\frac{10}{3}$
