दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनको $4$ से विभजित करने पर शेषफल $1$ हो।
The two-digit numbers, which when divided by $4,$ yield $1$ as remainder, are $13,17, \ldots 97$
This series forms an $A.P.$ with first term $13$ and common difference $4$
Let n be the number of terms of the $A.P.$
It is known that the $n^{th}$ term of an $A.P.$ is given by, $a_{n}=a+(n-1) d$
$\therefore 97=13+(n-1)(4)$
$\Rightarrow 4(n-1)=84$
$\Rightarrow n-1=21$
$\Rightarrow n=22$
Sum of n terms of an $A.P.$ is given by
$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$\therefore S_{22}=\frac{22}{2}[2(13)+(22-1)(4)]$
$=11[26+84]$
$=1210$
Thus, the required sum is $1210 .$
यदि किसी समान्तर श्रेणी का प्रथम पद $10$ व अन्तिम पद $50$ है तथा सभी पदों का योग $300$ हो, तो पदों की संख्या है
यदि $4$ पदों वाली एक समान्तर श्रेणी के प्रथम व अन्तिम पदों का योग $8$ एवं शेष दो बीच वाली संख्याओं का गुणनफल $15$ हो, तो श्रेणी की सबसे बड़ी संख्या होगी
यदि $A$, दो संख्याओं का समान्तर माध्य हो और $S$, उन दो संख्याओं के बीच $n$ समान्तर माध्यों का योग हो, तो
माना तीन अंक $a, b, c$ $A.P.$ में हैं। इनमें से प्रत्येक अंक को तीन बार प्रयोग कर $9$ अंको की संख्याएँ इस प्रकार बनाई जाती है कि तीन क्रमागत संख्याएँ कम से कम एक बार $A.P.$ में हो। इस प्रकार की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती है ?
यदि एक समान्तर श्रेणी का $10^{\text {th }}$ वां पद $\frac{1}{20}$ है तथा इसका $20^{\text {th }}$ वां पद $\frac{1}{10}$ है, तो इसके प्रथम $200$ पदों का योग है