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7.Binomial Theorem
hard
${(x + 3)^{n - 1}} + {(x + 3)^{n - 2}}(x + 2)$$ + {(x + 3)^{n - 3}}{(x + 2)^2} + ... + {(x + 2)^{n - 1}}$ के विस्तार में ${x^r}[0 \le r \le (n - 1)]$ का गुणांक है
A
$^n{C_r}({3^r} - {2^n})$
B
$^n{C_r}({3^{n - r}} - {2^{n - r}})$
C
$^n{C_r}({3^r} + {2^{n - r}})$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
${(x + 3)^{n – 1}} + {(x + 3)^{n – 2}}(x + 2) + $
${(x + 3)^{n – 3}}{(x + 2)^2} + …. + {(x + 2)^{n – 1}}$
$ = \frac{{{{(x + 3)}^n} – {{(x + 2)}^n}}}{{(x + 3) – (x + 2)}} = {(x + 3)^n} – {(x + 2)^n}$
इसलिए दिये गए व्यंजक में ${x^r}$ का गुणांक
= $[{(x + 3)^n} – {(x + 2)^n}]$
$ = {\,^n}{C_r}{3^{n – r}} – {\,^n}{C_r}{2^{n – r}} = {\,^n}{C_r}({3^{n – r}} – {2^{n – r}})$
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