व्यंजक (5+x)^{500}+x(5+x)^{499}+x^2(5+x)^{498}+ldots . x^{500} x > 0 में x ^{10

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7.Binomial Theorem

hard

व्यंजक $(5+x)^{500}+x(5+x)^{499}+x^2(5+x)^{498}+\ldots . x^{500}$ $x > 0$ में $x ^{101}$ का गुणांक होगा -

A

${ }^{501} C _{101}(5)^{399}$

B

${ }^{501} C _{101}(5)^{400}$

C

${ }^{501} C _{100}(5)^{400}$

D

${ }^{500} C _{101}(5)^{399}$

(JEE MAIN-2022)

Solution

$(5+x)^{500}+x(5+x)^{499}+x^{2}(5+x)^{498}+\ldots+x^{500}$

$=\frac{(5+x)^{501}-x^{501}}{(5+x)-x}=\frac{(5+x)^{501}-x^{501}}{5}$

$\Rightarrow$ coefficient $x ^{101}$ in given expression

$=\frac{{ }^{501} C _{101} 5^{400}}{5}={ }^{501} C _{101} 5^{399}$

Standard 11

Mathematics

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hard

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$\left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) – \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) – \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)$$ + \left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) – \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.$$ + \left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) – \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)$ का मान है:

hard

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यदि $b , a$ से बहुत छोटा है, जिनके लिए निम्न सर्वसमिका

$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a-2 b}+\frac{1}{a-3 b}+\ldots .+\frac{1}{a-n b}=\alpha n+\beta n^{2}+\gamma n^{3}$ में, $\frac{ b }{ a }$ की क्यूब और ऊँची घातों की उपेक्षा की जा सकती है, तो $\gamma$ बराबर है

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$\frac{{{C_0}}}{1} + \frac{{{C_2}}}{3} + \frac{{{C_4}}}{5} + \frac{{{C_6}}}{7} + ….$=

medium

यदि $\frac{1}{n+1}{ }^n C_n+\frac{1}{n}{ }^n C_{n-1}+\ldots+\frac{1}{2}{ }^n C_1+{ }^n C_0=\frac{1023}{10}$ है, तो $\mathrm{n}$ बराबर है :

hard

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