- Home
- Standard 11
- Mathematics
કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર અને નાભિઓ $x-$ અક્ષ પર હોય તેવું એક અતિવલય $H$ ધ્યાને લો. ધારો એ અતિવલય $H$ ને તેના શિરાબિંદુ પર સ્પર્શતું તથા કેન્દ્ર તેની એક નાભિ પર હોય તેવું વર્તુળ છે. જો $C_1$ અને $C_2$ નાં ક્ષેત્રફળો અનુકુમે $36 \pi$ અને $4 \pi$ હોય, તો $\mathrm{H}$ ના નાભિલંબની લંબાઈ ........... છે.
$\frac{28}{3}$
$\frac{14}{3}$
$\frac{10}{3}$
$\frac{11}{3}$
Solution
$ \text { Let } \mathrm{H}: \frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}-\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1 \quad\left(\mathrm{~b}^2=\mathrm{a}^2\left(\mathrm{e}^2-1\right)\right) $
$ \therefore \mathrm{eq}^{\mathrm{n}} \text { of } \mathrm{C}_1=\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}^2 $
$ \text { Ar. }=36 \pi $
$ \pi \mathrm{a}^2=36 \pi $
$ \mathrm{a}=6 $
$ \text { Now radius of } \mathrm{C}_2 \text { can be } \mathrm{a}(\mathrm{e}-1) \text { or } \mathrm{a}(\mathrm{e}+1) $
$ \text { for } \mathrm{r}=\mathrm{a}(\mathrm{e}-1) \quad \text { for } \mathrm{r}=\mathrm{a}(\mathrm{e}+1) $
$ \text { Ar. }=4 \pi \quad \pi \mathrm{r}^2=4 \pi $
$ \pi \mathrm{a}^2(\mathrm{e}-1)^2=4 \pi \quad \mathrm{a}^2(\mathrm{e}+1)^2=4 $
$ 36 \pi(\mathrm{e}-1)^2=4 \pi \quad 36(\mathrm{e}+1)^2=4 $
$ \mathrm{e}-1=\frac{1}{3} \quad \mathrm{e}+1=\frac{1}{3} $
$ \mathrm{e}=\frac{4}{3} \quad-\frac{2}{3} $
$ \text { Not possible } $
$ \therefore \mathrm{b}^2=36\left(\frac{16}{9}-1\right)=28 $
$ \therefore \mathrm{LR}=\frac{2 \mathrm{~b}^2}{\mathrm{a}}=\frac{2 \times 28}{6}=\frac{28}{3} $
