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4-2.Quadratic Equations and Inequations
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मान लें कि समीकरण $(1+a+b)^2=3\left(1+a^2+b^2\right)$ में $a$ तथा $b$ वास्तविक संख्याएँ है, तब
A
$(a, b)$ एक हलयुग्म $(solution\,pair)$ नहीं है.
B
$(a, b)$ अनन्त हलयुग्म होंगे.
C
$(a, b)$ केवल दो हलयुग्म होंगे.
D
$(a, b)$ केबल एक हलयुग्म होगा.
(KVPY-2016)
Solution
(d)
Given,
$(1+a+b)^2=3\left(1+a^2+b^2\right)$
$1+a^2+b^2+2 a+2 b+2 a b$
$=3+3 a^2+3 b^2$
$\Rightarrow 2 a^2+2 b^2-2 a-2 b-2 a b+2=0$
$\Rightarrow \quad\left(a^2-2 a+1\right)+\left(b^2-2 b+1\right)$
$+\left(a^2+b^2-2 a b\right)=0$
$\Rightarrow \quad(a-1)^2+(b-1)^2+(a-b)^2=0$
$\therefore \quad a-1=0, \quad b-1=0, a-b=0$
$\Rightarrow \quad a=1, b=1, a=b$
$\therefore \quad a=b=1$
Exactly one pair.
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