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$k ( k \neq 0)$ के सभी पूर्णांक मानों, जिनके लिए $x$ में समीकरण $\frac{2}{ x -1}-\frac{1}{ x -2}=\frac{2}{ k }$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है, का योग है .......... |
$95$
$76$
$66$
$70$
Solution
$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{2}{k}$
$x \in R-\{1,2\}$
$\Rightarrow k(2 x-4-x+1)=2\left(x^{2}-3 x+2\right)$
$\Rightarrow k(x-3)=2\left(x^{2}-3 x+2\right)$
$\text { for } x \neq 3, \quad \mathrm{k}=2\left(\mathrm{x}-3+\frac{2}{\mathrm{x}-3}+3\right)$
$\mathrm{x}-3+\frac{2}{\mathrm{x}-3} \geq 2 \sqrt{2}, \forall \mathrm{x}>3$
$\, \mathrm{x}-3+\frac{2}{\mathrm{x}-3} \leq-2 \sqrt{2}, \forall \mathrm{x}<-3$
$\left(\mathrm{x}-3+\frac{2}{\mathrm{x}-3}+3\right) \in(-\infty, 6-4 \sqrt{2}] \cup[6+4 \sqrt{2}, \infty)$
for no real roots
$\mathrm{k} \in(6-4 \sqrt{2}, 6+4 \sqrt{2})-\{0\}$
Integral $\mathrm{k} \in\{1,2 \ldots \ldots 11\}$
Sum of $\mathrm{k}=66$
