निर्थारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं :
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R.$
$R =\{(x, y): x, y$ की पत्नी है$\}$
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किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R.$
$R =\{(x, y): x, y$ की पत्नी है$\}$
$R =\{( x , y ): x$ is the wife of $y \}$
Now,
$(x, x) \notin R$
since $x$ cannot be the wife of herself.
$\therefore R$ is not reflexive.
Now, let $(x, y) \in R$
$\Rightarrow x$ is the wife of $y$ Clearly y is not the wife of $x$. $\therefore $ $( y , x ) \notin R$
Indeed, if $x$ is the wife of $y$, then $y$ is the husband of $x$.
$\therefore $ $R$ is not transitive.
Let $( x , \,y ),\,( y , \,z ) \in R$
$\Rightarrow $ $x$ is the wife of $y$ and $y$ is the wife of $z$.
This case is not possible. Also, this does not imply that $x$ is the wife of $z$.
$\therefore $ $( x ,\, z ) \notin R$
$\therefore $ $R$ is not transitive.
Hence, $R$ is neither reflexive, nor symmetric, nor transitive.
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माना $N$ सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। $N$ पर दो द्विआधारी संबंध इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि $R _{1}=\{(x, y) \in N \times N : 2 x+y=10\}$ तथा $R _{2}=\{(x, y) \in N \times N : x+2 y=10\}$, तो
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सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय $A$ में, $R =\left\{\left( P _{1}, P _{2}\right): P _{1}\right.$ तथा $P _{2}$ की भुजाओं की संख्या समान हैं$\}$ प्रकार से परिभाषित संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। $3, 4 ,$ और $5$ लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबधित समुच्चय $A$ के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
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सिद्ध कीजिए कि $R$ में $R =\{(a, b): a \leq b\}$, द्वारा परिभाषित संबंध $R$ स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
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यदि $R = \{ (x,\,y)|x,\,y \in Z,\,{x^2} + {y^2} \le 4\} $, $Z $ में संबंध है, तब $R $ का प्रान्त $ (Domain)$ है
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$n \times n$ के वास्तविक आव्यूहों $A$ तथा $B$ के एक समूह पर एक संबंध $R$ निम्न प्रकार से परिभाषित है :
"$ARB$ यदि और केवल यदि एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह $P$ का अस्तित्व है। जिसके लिए $PAP -1= B$ है'। तो निम्न में से कौन-सा सत्य है ?
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