निम्नलिखित असमिकाओं की ज्यामिति या किसी अन्य विधि द्रारा स्थापना कीजिए
$(a)$ $\quad| a + b | \leq| a |+| b |$
$(b)$ $\quad| a + b | \geq| a |-| b |$
$(c)$ $\quad| a - b | \leq| a |+| b |$
$(d)$ $\quad| a - b | \geq| a |-| b |$
इनमें समिका (समता) का चिह्न कब लागू होता है ?
$(a)$ Let two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ be represented by the adjacent sides of a parallelogram $OMNP$, as shown in the given figure.
Here, we can write:
$|\overrightarrow{ OM }|=|\vec{a}|$
$|\overrightarrow{ MN }|=|\overrightarrow{ OP }|=|\vec{b}|$
$|\overrightarrow{ ON }|=|\vec{a}+\vec{b}|$
In a triangle, each side is smaller than the sum of the other two sides. Therefore, in $\Delta$ $OMN$, we have:
$ON \,<\, ( OM + MN )$
$|\vec{a}+\vec{b}| \,<\, |\vec{a}|+|\vec{b}|$
If the two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ act along a straight line in the same direction, then we can write:
$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$
Combining above equations we get:
$|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$
$(b)$ Let two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ be represented by the adjacent sides of a parallelogram $OMNP$, as shown in the given figure.
In a triangle, each side is smaller than the sum of the other two sides. Therefore, in $\Delta$ $OMN$, we have
$ON + MN \,>\, OM$
$ON + OM \,>\, MN$
$|\overrightarrow{ ON }|\,>\,|\overrightarrow{ OM }-\overrightarrow{ OP }|$
$(\because OP = MN )$
$|\vec{a}+\vec{b}|\,>\,|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
If the two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ act along a straight line in the same direction, then we can write:
$|\vec{a}+\vec{b}|=|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
Combining above equations, we get:
$|\vec{a}+\vec{b}| \geq|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
$(c)$ Let two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ be represented by the adjacent sides of a parallelogram $PORS$, as shown in the given figure.
Here we have:
$|\overrightarrow{ OR }|=|\overrightarrow{ PS }|=|\vec{b}|$
$|\overrightarrow{ OP }|=|\vec{a}|$
In a triangle, each side is smaller than the sum of the other two sides. Therefore, in $\Delta$ $OPS$, we have:
$OS \,<\, OP + PS$
$|\vec{a}-\vec{b}| \,<\, |\vec{a}|+|-\vec{b}|$
$|\vec{a}-\vec{b}| \,<\, |\vec{a}|+|\vec{b}|$
If the two vectors act in a straight line but in opposite directions, then we can write:
$|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$
Combining above equations, we get:
$|\vec{a}-\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$
$(d)$ Let two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ be represented by the adjacent sides of a parallelogram $PORS$, as shown in the given figure.
The following relations can be written for the given parallelogram. $OS + PS > OP$
$OS \,>\, OP-PS $
$|\vec{a}-\vec{b}|\,>\,|\vec{a}|-|\vec{b}|$
The quantity on the $LHS$ is always positive and that on the $RHS$ can be positive or negative. To make both quantities positive, we take modulus on both sides as:
||$\vec{a}-\vec{b}||\,>\,|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
$|\vec{a}-\vec{b}|\,>\,|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
If the two vectors act in a straight line but in the opposite directions, then we can write:
$|\vec{a}-\vec{b}|=|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
Combining equations , we get:
$|\vec{a}-\vec{b}| \geq|| \vec{a}|-| \vec{b} |$
कथन $I$ - दो बल $(\overrightarrow{ P }+\overrightarrow{ Q })$ तथा $(\overrightarrow{ P }-\overrightarrow{ Q })$ जहाँ $\overrightarrow{ P } \perp \overrightarrow{ Q }$, जब एक दूसरे से $\theta_{1}$ कोण पर लगते हैं, तो परिणामी का परिमाण $\sqrt{3\left( P ^{2}+ Q ^{2}\right)}$ होता है तथा जब $\theta_{2}$ कोण पर लगते है, तो परिणामी का परिमाण $\sqrt{2\left( P ^{2}+ Q ^{2}\right)}$ होता है। यह तभी सम्भव होता है जब $\theta_{1}<\theta_{2}$ है।
कथन $II$ - उपयुर्क्त दी गयी दशा में $\theta_{1}=60^{\circ}$ तथा $\theta_{2}=90^{\circ}$ उपर्युक्त कथनों के अवलोकन में, नीचे दिए गये विकल्पों से उपयुक्त उत्तर चुनिए।
कोई साइकिल सवार किसी वृत्तीय पार्क के केंद्र $O$ से चलना शुरू करता है तथा पार्क के किनारे $P$ पर पहुँचता है। पुनः वह पार्क की परिधि के अनुदिश साइकिल चलाता हुआ $QO$ के रास्ते ( जैसा चित्र में दिखाया गया है) केंद्र पर वापस आ जाता है । पार्क की त्रिज्या $1\, km$ है । यदि पूरे चक्कर में $10$ मिनट लगते हों तो साइकिल सवार का $(a)$ कुल विस्थापन, $(b)$ औसत वेग, तथा $(c)$ औसत चाल क्या होगी ?
दो बलों $\overrightarrow{ P }$ और $\overrightarrow{ Q }$ को जोड़कर मिलने वाला बल $\overrightarrow{ R }$ ऐसा है कि $|\overrightarrow{ R }|=|\overrightarrow{ P }|$. यदि $2 \overrightarrow{ P }$ और $\overrightarrow{ Q }$ को जोड़कर मिलने वाला परिणामी बल $\overrightarrow{ Q }$ से $\theta$ कोण (डिग्री में) बनाता हो तो $\theta$ का मान होगा |
किसी बिन्दु पर कार्य करने वाले दो बलों का योग $16 \,N$ है। यदि परिणामी बल का मान $8 \,N $ तथा इसकी दिशा न्यूनतम बल के लम्बवत् है तो बलों के मान होंगे
दो सदिशों $\hat i - 2\hat j + 2\hat k$ तथा $2\hat i + \hat j - \hat k,$ में कौनसा सदिश जोडे़ं कि उनका परिणामी $X-$अक्ष के अनुदिश इकाई सदिश हो