निम्नलिखित असमिकाओं की ज्यामिति या किसी अन्य विधि द्रारा स्थापना कीजिए
$(a)$ $\quad| a + b | \leq| a |+| b |$
$(b)$ $\quad| a + b | \geq| a |-| b |$
$(c)$ $\quad| a - b | \leq| a |+| b |$
$(d)$ $\quad| a - b | \geq| a |-| b |$
इनमें समिका (समता) का चिह्न कब लागू होता है ?
$(a)$ Let two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ be represented by the adjacent sides of a parallelogram $OMNP$, as shown in the given figure.
Here, we can write:
$|\overrightarrow{ OM }|=|\vec{a}|$
$|\overrightarrow{ MN }|=|\overrightarrow{ OP }|=|\vec{b}|$
$|\overrightarrow{ ON }|=|\vec{a}+\vec{b}|$
In a triangle, each side is smaller than the sum of the other two sides. Therefore, in $\Delta$ $OMN$, we have:
$ON \,<\, ( OM + MN )$
$|\vec{a}+\vec{b}| \,<\, |\vec{a}|+|\vec{b}|$
If the two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ act along a straight line in the same direction, then we can write:
$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$
Combining above equations we get:
$|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$
$(b)$ Let two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ be represented by the adjacent sides of a parallelogram $OMNP$, as shown in the given figure.
In a triangle, each side is smaller than the sum of the other two sides. Therefore, in $\Delta$ $OMN$, we have
$ON + MN \,>\, OM$
$ON + OM \,>\, MN$
$|\overrightarrow{ ON }|\,>\,|\overrightarrow{ OM }-\overrightarrow{ OP }|$
$(\because OP = MN )$
$|\vec{a}+\vec{b}|\,>\,|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
If the two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ act along a straight line in the same direction, then we can write:
$|\vec{a}+\vec{b}|=|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
Combining above equations, we get:
$|\vec{a}+\vec{b}| \geq|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
$(c)$ Let two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ be represented by the adjacent sides of a parallelogram $PORS$, as shown in the given figure.
Here we have:
$|\overrightarrow{ OR }|=|\overrightarrow{ PS }|=|\vec{b}|$
$|\overrightarrow{ OP }|=|\vec{a}|$
In a triangle, each side is smaller than the sum of the other two sides. Therefore, in $\Delta$ $OPS$, we have:
$OS \,<\, OP + PS$
$|\vec{a}-\vec{b}| \,<\, |\vec{a}|+|-\vec{b}|$
$|\vec{a}-\vec{b}| \,<\, |\vec{a}|+|\vec{b}|$
If the two vectors act in a straight line but in opposite directions, then we can write:
$|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$
Combining above equations, we get:
$|\vec{a}-\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$
$(d)$ Let two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ be represented by the adjacent sides of a parallelogram $PORS$, as shown in the given figure.
The following relations can be written for the given parallelogram. $OS + PS > OP$
$OS \,>\, OP-PS $
$|\vec{a}-\vec{b}|\,>\,|\vec{a}|-|\vec{b}|$
The quantity on the $LHS$ is always positive and that on the $RHS$ can be positive or negative. To make both quantities positive, we take modulus on both sides as:
||$\vec{a}-\vec{b}||\,>\,|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
$|\vec{a}-\vec{b}|\,>\,|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
If the two vectors act in a straight line but in the opposite directions, then we can write:
$|\vec{a}-\vec{b}|=|| \vec{a}|-| \vec{b}||$
Combining equations , we get:
$|\vec{a}-\vec{b}| \geq|| \vec{a}|-| \vec{b} |$
दो बलों ${F_1}$ व ${F_2}$ का सदिश योग ${F_3}$ के तुल्य है, इसका चित्रण निम्न में किस चित्र में किया गया है
समान परिमाण के तीन संगामी बल परस्पर साम्यावस्था में है। इन बलों के बीच के कोण क्या होंगे तथा बलों को भुजा के रुप में प्रदर्शित करने पर बनने वाले त्रिभुज का नाम क्या होगा
सदिश $\overrightarrow{ A }$ और $\overrightarrow{ B } .$ इस प्रकार हैं कि $|\overrightarrow{ A }+\overrightarrow{ B }|=|\overrightarrow{ A }-\overrightarrow{ B }|$ इन दो सदिशों के बीच का कोण है
$3\,N$ तथा $2 \,N$ परिमाण के दो बल कोण पर इस प्रकार कार्यरत है, कि उनका परिणामी $R$ है। यदि प्रथम बल को $6\,N$ तक बढ़ा दिया जाये, तो परिणामी बल $2R$ हो जाता है। का मान....... $^o$ है