દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી $\left(1+\frac{ x }{2}-\frac{2}{ x }\right)^{4}, x \neq 0$ નું વિસ્તરણ કરો.
$\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^{4}$
$ = {\,^n}{C_0}{\left( {1 + \frac{x}{2}} \right)^4} - {\,^n}{C_1}{\left( {1 + \frac{x}{2}} \right)^3}\left( {\frac{2}{x}} \right) + {\,^n}{C_2}{\left( {1 + \frac{x}{2}} \right)^2}{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2}$
$ - {\,^n}{C_3}\left( {1 + \frac{x}{2}} \right){\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} + {\,^n}{C_4}{\left( {\frac{2}{x}} \right)^4}$
$=\left(1+\frac{x}{2}\right)^{4}-4\left(1+\frac{x}{2}\right)^{3}\left(\frac{2}{x}\right)+6\left(1+x+\frac{x^{2}}{4}\right)\left(\frac{4}{x^{2}}\right)-4\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(\frac{8}{x^{3}}\right)+\frac{16}{x^{4}}$
$=\left(1+\frac{x}{2}\right)^{4}-\frac{8}{x}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{3}+\frac{24}{x^{2}}+\frac{24}{x}+6-\frac{32}{x^{3}}-\frac{16}{x^{2}}+\frac{16}{x^{4}}$
$=\left(1+\frac{x}{2}\right)^{4}-\frac{8}{x}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{3}+\frac{8}{x^{2}}+\frac{24}{x}+6-\frac{32}{x^{3}}+\frac{16}{x^{4}}$ ...........$(1)$
Again by using Binomial Theorem, we obtain
${\left( {1 + \frac{x}{2}} \right)^4} = {\,^4}{C_0}{(1)^4} + {\,^4}{C_1}{(1)^3}\left( {\frac{x}{2}} \right) + {\,^4}{C_2}{(1)^2}{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}$
$ + {\,^4}{C_3}{(1)^3}{\left( {\frac{x}{2}} \right)^3} + {\,^4}{C_4}{\left( {\frac{x}{2}} \right)^4}$
$=1+4 \times \frac{x}{2}+6 \times \frac{x^{4}}{4}+4 \times \frac{x^{3}}{8}+\frac{x^{4}}{16}$
$=1+2 x+\frac{3 x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{4}}{16}$ .........$(2)$
${\left( {1 + \frac{x}{2}} \right)^3} = {\,^3}{C_0}{(1)^3} + {\,^3}{C_1}{(1)^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + {\,^3}{C_2}(1)\left( {\frac{x}{2}} \right) + {\,^3}{C_3}{\left( {\frac{x}{2}} \right)^3}$
$=1+\frac{3 x}{2}+\frac{3 x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{8}$ ..........$(3)$
From $(1), (2)$ and $(3),$ we obtain
$\left[\left(1+\frac{x}{2}\right)-\frac{2}{x}\right]^{4}$
$=1+2 x+\frac{3 x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{4}}{16}-\frac{8}{x}\left(1+\frac{3 x}{2}+\frac{3 x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{8}\right)+\frac{8}{x^{2}}+\frac{24}{x}+6-\frac{32}{x^{3}}+\frac{16}{x^{4}}$
$=1+2 x+\frac{3}{2} x^{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{4}}{16}-\frac{8}{x}-12-6 x-x^{2}+\frac{8}{x^{2}}+\frac{24}{x}+6-\frac{32}{x^{3}}+\frac{16}{x^{4}}$
$=\frac{16}{x}+\frac{8}{x^{2}}-\frac{32}{x^{3}}+\frac{16}{x^{4}}-4 x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{4}}{16}-5$
$(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{6}+(\mathrm{x}-\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{6}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{4}$ અને $x^{2}$ ના સહગુણકો $\alpha$ અને $\beta$ હોય તો . . . .
જો ${(1 + x)^{18}}$ ના વિસ્તરણમાં ${(2r + 4)^{th}}$ અને ${(r - 2)^{th}}$ ના સહગુણકો સમાન હોય તો $r = $. . . .
જો $\left( a x^3+\frac{1}{ b x^{1 / 3}}\right)^{15}$ ના વિસ્તારમાં $x^{15}$ નો સહગુણક એ $\left( a x^{1 / 3}-\frac{1}{ b x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણ માં $x^{-15}$ ના સહગુણક જેટલો થાય,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો આવી પ્રત્યેક ક્રમયુક્ત જોડ $(a,b)$ માટે $..........$.
${\left( {{x^2} + \frac{a}{x}} \right)^5}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ નો સહગુણક મેળવો.
${\left( {2x - \frac{3}{x}} \right)^6}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ મેળવો.