જો ${(2 + a)^{{\rm{50 }}}}$ નું $17$ મું અને $18$ મું પદ સમાન હોય, તો $a$ શોધો.
જો ${(2 + a)^{{\rm{50 }}}}$ નું $17$ મું અને $18$ મું પદ સમાન હોય, તો $a$ શોધો.
The $(r+1)^{\text {th }}$ term of the expansion $(x+y)^{n}$ is given by ${T_{r + 1}} = \,{\,^n}{C_r}{x^{n - r}}{y^r}$
For the $17^{\text {th }}$ term, we have, $r+1=17,$ i.e., $r=16$
Therefore, ${T_{17}} = {T_{16 + 1}} = {\,^{50}}{C_{16}}{(2)^{50 - 16}}{a^{16}}$
$ = {\,^{50}}{C_{16}}{2^{34}}{a^{16}}$
Simlarly, ${T_{18}} = {\,^{50}}{C_{17}}{2^{33}}{a^{17}}$
Given that $T_{17}=T_{18}$
So ${\,^{50}}{C_{16}}{(2)^{34}}{a^{16}} = {\,^{50}}{C_{17}}{(2)^{33}}{a^{17}}$
Therefore $\frac{{{\,^{50}}{C_{16}} \cdot {2^{34}}}}{{{\,^{50}}{C_{17}} \cdot {2^{33}}}} = \frac{{{a^{17}}}}{{{a^{16}}}}$
i.e., $a = \frac{{{\,^{50}}{C_{16}} \times 2}}{{{\,^{50}}{C_{17}}}} = \frac{{50!}}{{16!34!}} \times \frac{{17! \cdot 33!}}{{50!}} \times 2 = 1$
Similar Questions
જો $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં બીજા, ત્રીજા અને ચોથા પદો અનુક્રમે $135,30$ અને $\frac{10}{3}$ હોય, તો $6\left(n^3+x^2+y\right)=$ ...............
જો $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં બીજા, ત્રીજા અને ચોથા પદો અનુક્રમે $135,30$ અને $\frac{10}{3}$ હોય, તો $6\left(n^3+x^2+y\right)=$ ...............
- [JEE MAIN 2024]
$\left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2 x^{\frac{2}{3}}}\right)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં સાતમા અને તેરમા પદ્દોના સહગુણકો અનુક્રમે $\mathrm{m}$ અને $\mathrm{n}$ છે. તો $\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}\right)^{\frac{1}{3}}=$.....................
$\left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2 x^{\frac{2}{3}}}\right)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં સાતમા અને તેરમા પદ્દોના સહગુણકો અનુક્રમે $\mathrm{m}$ અને $\mathrm{n}$ છે. તો $\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}\right)^{\frac{1}{3}}=$.....................
- [JEE MAIN 2024]
$(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{6}+(\mathrm{x}-\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{6}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{4}$ અને $x^{2}$ ના સહગુણકો $\alpha$ અને $\beta$ હોય તો . . . .
$(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{6}+(\mathrm{x}-\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{6}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{4}$ અને $x^{2}$ ના સહગુણકો $\alpha$ અને $\beta$ હોય તો . . . .
- [JEE MAIN 2020]
${(1 + x)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ મેળવો.
${(1 + x)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ મેળવો.
જો ${\left( {\frac{3}{{{{\left( {84} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} + \sqrt 3 \ln \,x} \right)^9},\,x > 0$ માં પ્રથમ $7^{th}$ પદ $729$ હોય તો $x$ ની શકય કિમત મેળવો
જો ${\left( {\frac{3}{{{{\left( {84} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} + \sqrt 3 \ln \,x} \right)^9},\,x > 0$ માં પ્રથમ $7^{th}$ પદ $729$ હોય તો $x$ ની શકય કિમત મેળવો