જો $(3+a x)^{9}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{2}$ અને $x^{3}$ ના સહગુણકો સમાન હોય, તો $a$ શોધો.
It is known that $(r+1)^{\text {th }}$ term, $\left(T_{r+1}\right),$ in the binomial expansion of $(a+b)^{n}$ is given by
${T_{r + 1}} = {\,^n}{C_r}{a^{n - r}}{b^r}$
Assuming that $x^{2}$ occurs in the $(r+1)^{\text {th }}$ term in the expansion of $(3+a x)^{9}$, we obtain
${T_{r + 1}} = {\,^9}{C_r}{(3)^{9 - r}}{(ax)^r} = {\,^9}{C_r}{(3)^{2 - r}}{a^r}{x^r}$
Comparing the indices of $x$ in $x^{2}$ and in $T_{r+1},$ we obtain
$r=2$
Thus, the coefficient of $x^{2}$ is
${\,^9}{C_2}{(3)^{9 - 2}}{a^2} = \frac{{9!}}{{2!7!}}{(3)^7}{a^2} = 36{(3)^7}{a^2}$
Assuming that $x^{3}$ occurs in the $(k+1)^{\text {th }}$ term in the expansion of $(3+a x)^{9}$, we obtain
${T_{k + 1}} = {\,^9}{C_k}{(3)^{9 - k}}{(ax)^k} = {\,^9}{C_k}{(3)^{9 - k}}{a^k}{x^k}$
Comparing the indices of $x$ in $x^{3}$ and in $T_{k+1},$ we obtain $k=3$
Thus, the coefficient of $x^{3}$ is
${\,^9}{C_3}{(3)^{9 - 3}}{a^3} = \frac{{9!}}{{3!6!}}{(3)^6}{a^3} = 84{(3)^6}{a^3}$
It is given that the coefficient of $x^{2}$ and $x^{3}$ are the same.
$84(3)^{6} a^{3}=36(3)^{7} a^{2}$
$\Rightarrow 84 a=36 \times 3$
$\Rightarrow a=\frac{36 \times 3}{84}=\frac{104}{84}$
$\Rightarrow a=\frac{9}{7}$
Thus, the required value of $a$ is $9 / 7$
જો ${(2 + a)^{{\rm{50 }}}}$ નું $17$ મું અને $18$ મું પદ સમાન હોય, તો $a$ શોધો.
${\left[ {\frac{x}{2}\,\, - \,\,\frac{3}{{{x^2}}}} \right]^{10}}$ માં $x^4$ નો સહગુણક મેળવો
ધારો કે $\left(\sqrt{2^{\log _2}\left(10-3^x\right)}+\sqrt[5]{2^{(x-2) \log _2 3}}\right)^m$ નું દ્રીપદી વિસ્તરણ એ $2^{(x-2) \log _2 3}$ની વધતી ધાતમાં લઈએ,તો તેનું છઠ્ઠું પદ $21$ છે.જો આ દ્રીપદી વિસ્તરણના બીજા,ત્રીજા અને ચોથા પદોના સહગુણકો અનુક્રમે સમાંતર શ્રેણી ણા પ્રથમ,ત્રીજા અને પાંચમાં પદો હોય,તો $x$ની શક્ય તમામ કિમતોના વર્ગોનો સરવાળો $..............$ છે.
અહી દ્રીપદી $\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ ની વધતી ઘાતાંક માં શરૂઆત થી પાંચમું પદ અને અંતથી પાંચમું પદનો ગુણોતર $\sqrt[4]{6}: 1$ છે. જો શરૂઆતથી છઠ્ઠુ પદ $\frac{\alpha}{\sqrt[4]{3}}$ હોય તો $\alpha$ ની કિમંત મેળવો.
${\left( {2{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^{12}}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ કેટલામું હશે. ?