यदि $(3+a x)^{9}$ के प्रसार में $x^{2}$ तथा $x^{3}$ के गुणांक समान हों, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
It is known that $(r+1)^{\text {th }}$ term, $\left(T_{r+1}\right),$ in the binomial expansion of $(a+b)^{n}$ is given by
${T_{r + 1}} = {\,^n}{C_r}{a^{n - r}}{b^r}$
Assuming that $x^{2}$ occurs in the $(r+1)^{\text {th }}$ term in the expansion of $(3+a x)^{9}$, we obtain
${T_{r + 1}} = {\,^9}{C_r}{(3)^{9 - r}}{(ax)^r} = {\,^9}{C_r}{(3)^{2 - r}}{a^r}{x^r}$
Comparing the indices of $x$ in $x^{2}$ and in $T_{r+1},$ we obtain
$r=2$
Thus, the coefficient of $x^{2}$ is
${\,^9}{C_2}{(3)^{9 - 2}}{a^2} = \frac{{9!}}{{2!7!}}{(3)^7}{a^2} = 36{(3)^7}{a^2}$
Assuming that $x^{3}$ occurs in the $(k+1)^{\text {th }}$ term in the expansion of $(3+a x)^{9}$, we obtain
${T_{k + 1}} = {\,^9}{C_k}{(3)^{9 - k}}{(ax)^k} = {\,^9}{C_k}{(3)^{9 - k}}{a^k}{x^k}$
Comparing the indices of $x$ in $x^{3}$ and in $T_{k+1},$ we obtain $k=3$
Thus, the coefficient of $x^{3}$ is
${\,^9}{C_3}{(3)^{9 - 3}}{a^3} = \frac{{9!}}{{3!6!}}{(3)^6}{a^3} = 84{(3)^6}{a^3}$
It is given that the coefficient of $x^{2}$ and $x^{3}$ are the same.
$84(3)^{6} a^{3}=36(3)^{7} a^{2}$
$\Rightarrow 84 a=36 \times 3$
$\Rightarrow a=\frac{36 \times 3}{84}=\frac{104}{84}$
$\Rightarrow a=\frac{9}{7}$
Thus, the required value of $a$ is $9 / 7$
${(1 + x)^n}$ के द्विपद विस्तार में द्वितीय, तृतीय तथा चतुर्थ पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी में हैं, तब ${n^2} - 9n$ का मान होगा
$\left(\frac{x+1}{x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1}-\frac{x-1}{x-x^{1 / 2}}\right)^{10}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद है
यदि $\left(2+\frac{ x }{3}\right)^{ n }$ के प्रसार में $x ^{7}$ तथा $x ^{8}$ के गुणांक बराबर हैं, तो $n$ बराबर है ......... |
माना किसी धनपूर्णाक $n$ के लिए, $(1+ x )^{ n +5}$ के द्विपद प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक $5: 10: 14$ के अनुपात में हैं, तो इस प्रसार में सब से बड़ा गुणांक है
माना $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ की बढ़ती घातों में $\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n$ के द्विपद प्रसार में आरंभ से पाँचवें पद का अन्त से पाँचवें पद से अनुपात $\sqrt[4]{6}: 1$ है। यदि आरंभ से छठा पद $\frac{\alpha}{\sqrt[4]{3}}$ है, तो $\alpha$ बराबर है $...........$