यदि $\left( x \sin \alpha+ a \frac{\cos \alpha}{ x }\right)^{10}$ के प्रसार में ' $x$ ' से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $\frac{10 \text { ! }}{(5 !)^{2}}$ है, तो ' $a$ ' बराबर है

यदि $\left(3^{1 / 2}+5^{1 / 8}\right)^{ n }$ के प्रसार में पूर्णाकीय पदों की संख्या मात्र $33$ है, तो $n$ का न्यूनतम मान है

यदि $\left(\mathrm{ax}^3+\frac{1}{\mathrm{bx}^{\frac{1}{3}}}\right)^{15}$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{15}$ का गुणांक $\left(\mathrm{ax}^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{\mathrm{bx}^3}\right)^{15}$ के प्रसार, में $\mathrm{x}^{-15}$ के गुणांक के बराबर है, जहाँ $a$ तथा $b$ धनात्मक संख्याएँ है, तो ऐसे प्रत्येक क्रमित युग्म $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ के लिए :

माना कि $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}, T_1=\left\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \right\}$, और $T_2=\left\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \right\}$ हैं। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$

$(B)$ $T_1 \cap\left(0, \frac{1}{2024}\right)=\phi$, जहां $\phi$ रिक्त समुच्चय (empty set) को दर्शाता है।

$(C)$ $T_2 \cap(2024, \infty) \neq \phi$

$(D)$ किन्हीं दिये गए $a, b \in Z$ के लिए, $\cos (\pi(a+b \sqrt{2}))+i \sin (\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि (if and only if) $b=0$, जहां $i=\sqrt{-1}$ है।

${(1 + x)^n}$ के विस्तार में  $p$ वें तथा $(p + 1)$ वें पदों के गुणांक क्रमश:  $p $ व  $q$ हों, तो $p + q = $

$(x+a)^{n}$ के प्रसार में अंत से $r^{\text {th }}$ पद ज्ञात कीजिए।