यदि $\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}$ के प्रसार में आरंभ से $5$ वें और अंत से $5$ वें पद का अनुपात $\sqrt{6}: 1$ हो तो $n$ ज्ञात कीजिए।
In the expansion, ${(a + b)^n} = {\,^n}{C_0}{a^n} + {\,^n}{C_1}{a^{n - 1}}b + {\,^n}{C_2}{a^{n - 2}}{b^2} + \ldots + {\,^n}{C_{n - 1}}a{b^{n - 1}} + {\,^n}{C_n}{b^n}$
Fifth term from the beginning $ = {\,^n}{C_4}{a^{n - 4}}{b^4}$
Fifth term from the end $ = {\,^n}{C_4}{a^4}{b^{n - 4}}$
Therefore, it is evident that in the expansion of $\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{ n }$ are fifth term from the beginning is ${\,^n}{C_4}{(\sqrt[4]{2})^{n - 4}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{3}}}} \right)^4}$ and the fifth term from the end is ${\,^n}{C_{n - 4}}{(\sqrt[4]{2})^4}{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{3}}}} \right)^{n - 4}}$
${\,^n}{C_4}{(\sqrt[4]{2})^{n - 4}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{3}}}} \right)^4} = {\,^n}{C_4}\frac{{{{(\sqrt[4]{2})}^n}}}{{{{(\sqrt[4]{2})}^4}}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{{n!}}{{6.4!(n - 4)!}}{(\sqrt[4]{2})^n}$ ............$(1)$
${\,^n}{C_{n - 4}}{(\sqrt[4]{2})^4}{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{3}}}} \right)^{n - 4}} = {\,^n}{C_{n - 4}}\frac{{{{(\sqrt[4]{3})}^4}}}{{{{(\sqrt[4]{3})}^n}}} = {\,^n}{C_{n - 4}} \cdot 2 \cdot \frac{3}{{{{(\sqrt[4]{3})}^n}}} = \frac{{6n!}}{{(n - 4)!4!}} \cdot \frac{1}{{{{(\sqrt[4]{3})}^n}}}$ ..........$(2)$
It is given that the ratio of the fifth term from the beginning to the fifth term from the and is $\sqrt{6}: 1 .$ Therefore, from $(1)$ and $(2),$ we obtain
$\frac{ n !}{6.4 !( n -4) !}(\sqrt[4]{2})^{ n }: \frac{6 n !}{( n -4) ! 4 !} \cdot \frac{1}{(\sqrt[4]{3})^{ n }}=\sqrt{6}: 1$
$\Rightarrow \frac{(\sqrt[4]{2})^{n}}{6}: \frac{6}{(\sqrt[4]{3})^{n}}=\sqrt{6}: 1$
$\Rightarrow \frac{(\sqrt[4]{2})^{n}}{6} \times \frac{(\sqrt[4]{3})^{n}}{6}=\sqrt{6}$
$\Rightarrow(\sqrt[4]{6})^{n}=36 \sqrt{6}$
$ \Rightarrow {6^{n/4}} = {6^{5/2}}$
$\Rightarrow \frac{n}{4}=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow n =4 \times \frac{5}{2}=10$
Thus, the value of $n$ is $10$
यदि $\left(a x-\frac{1}{b x^2}\right)^{13}$ में $x^7$ का गुणांक तथा $\left(a x+\frac{1}{b x^2}\right)^{13}$ में $x^{-5}$ का गुणांक बराबर हैं, तो $a^4 b^4$ बराबर है :
निम्नलिखित प्रसारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए
$\left(\frac{x}{3}+9 y\right)^{10}$
${\left( {{x^2} - 2x} \right)^{10}}$ के विस्तार में ${x^{16}}$ का गुणांक है
यदि $\left(\alpha x^3+\frac{1}{\beta x}\right)^{11}$ के प्रसार में $x^9$ का गुणांक एवं $\left(\alpha \mathrm{x}-\frac{1}{\beta \mathrm{x}^3}\right)^{11}$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{-9}$ का गुणांक बराबर हैं तब $(\alpha \beta)^2$ बराबर है____________.
$\left(4^{\frac{1}{4}}+5^{\frac{1}{6}}\right)^{120}$ के द्विपद प्रसार में परिमेय पदों की संख्या है ...... |