यदि {(1 + x)^n} के विस्तार में p वें, (p | vedclass

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Question

${(1 + x)^n}$ के प्रसार में $p\,osa,(p + 1)\,osa$ व $(p + 2)$ वें पद क्रमश: $^n{C_{p - 1}}{,^n}{C_p}{,^n}{C_{p + 1}}$ हैं।

तब $2{\,^n}{C_p} = {\,^n

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${n^2} - n\,(4p + 1) + 4{p^2} - 2 = 0$

Vedclass · Answer

${(1 + x)^n}$ के प्रसार में $p\,osa,(p + 1)\,osa$ व $(p + 2)$ वें पद क्रमश: $^n{C_{p - 1}}{,^n}{C_p}{,^n}{C_{p + 1}}$ हैं।

तब $2{\,^n}{C_p} = {\,^n}{C_{p - 1}} + {\,^n}{C_{p + 1}}$

$ \Rightarrow {n^2} - n(4p + 1) + 4{p^2} - 2 = 0$

ट्रिक: माना $p  = 1$, अत: $^n{C_0},{\,^n}{C_1}$ व $^n{C_2}$ समान्तर श्रेणी में होंगे।

$ \Rightarrow \,\,\,{2.^n}{C_1} = {\,^n}{C_0}{ + ^n}{C_2}\,\,\,\, $

$\Rightarrow 2n = 1 + \frac{{n\,(n - 1)}}{2}$

$ \Rightarrow \,\,4n = 2 + {n^2} - n\,\,\,\,$

$\Rightarrow {n^2} - 5n + 2 = 0$

जो $(b)$ द्वारा प्राप्त होता है।

यदि ${(1 + x)^n}$ के विस्तार में $p$ वें, $(p + 1)$ वें तथा $(p + 2)$ वें पदों के गुणांक समांतर श्रेणी में हों, तो

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