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यदि ${(1 + x)^n}$ के विस्तार में $p$ वें, $(p + 1)$ वें तथा $(p + 2)$ वें पदों के गुणांक समांतर श्रेणी में हों, तो
${n^2} - 2np + 4{p^2} = 0$
${n^2} - n\,(4p + 1) + 4{p^2} - 2 = 0$
${n^2} - n\,(4p + 1) + 4{p^2} = 0$
इनमें से कोई नहीं
Solution
${(1 + x)^n}$ के प्रसार में $p\,osa,(p + 1)\,osa$ व $(p + 2)$ वें पद क्रमश: $^n{C_{p – 1}}{,^n}{C_p}{,^n}{C_{p + 1}}$ हैं।
तब $2{\,^n}{C_p} = {\,^n}{C_{p – 1}} + {\,^n}{C_{p + 1}}$
$ \Rightarrow {n^2} – n(4p + 1) + 4{p^2} – 2 = 0$
ट्रिक: माना $p = 1$, अत: $^n{C_0},{\,^n}{C_1}$ व $^n{C_2}$ समान्तर श्रेणी में होंगे।
$ \Rightarrow \,\,\,{2.^n}{C_1} = {\,^n}{C_0}{ + ^n}{C_2}\,\,\,\, $
$\Rightarrow 2n = 1 + \frac{{n\,(n – 1)}}{2}$
$ \Rightarrow \,\,4n = 2 + {n^2} – n\,\,\,\,$
$\Rightarrow {n^2} – 5n + 2 = 0$
जो $(b)$ द्वारा प्राप्त होता है।
