$(1+x)^{n+5}$ के तीन क्रमागत पदों के गुणांक $5: 10: 14$ के अनुपात में है, तब $n=$
$5$
$6$
$7$
$8$
यदि सभी $x \in R$ के लिए $1+x^{4}+x^{5}=\sum_{ i =0}^{5} a _{ i }(1+x)^{ i }$ है, तो $a _{2}$ है
$\left(\frac{4 \mathrm{x}}{5}+\frac{5}{2 \mathrm{x}^2}\right)^9$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{-6}$ का गुणांक है______________.
माना $\alpha>0$ न्यूनतम संख्या है, जिसके लिए $\left(\mathrm{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{\mathrm{x}^3}\right)^{30}$ के प्रसार का एक पद $\beta \mathrm{x}^{-\alpha}, \beta \in \mathbb{N}$ है तो $\alpha$ बराबर है
यदि $\left(\frac{\mathrm{x}^{\frac{5}{2}}}{2}-\frac{4}{\mathrm{x}^{\ell}}\right)^9$ के द्विपद प्रसार में अचर पद $-84$ है तथा $\mathrm{x}^{-3 \ell}$ का गुणांक $2^\alpha \beta$ है, जहाँ $\beta<0$ एक विषम संख्या है, तो $|\alpha \ell-\beta|$ बराबर है______________.
यदि $\left(\mathrm{ax}^3+\frac{1}{\mathrm{bx}^{\frac{1}{3}}}\right)^{15}$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{15}$ का गुणांक $\left(\mathrm{ax}^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{\mathrm{bx}^3}\right)^{15}$ के प्रसार, में $\mathrm{x}^{-15}$ के गुणांक के बराबर है, जहाँ $a$ तथा $b$ धनात्मक संख्याएँ है, तो ऐसे प्रत्येक क्रमित युग्म $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ के लिए :