यदि $\left(\mathrm{ax}^3+\frac{1}{\mathrm{bx}^{\frac{1}{3}}}\right)^{15}$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{15}$ का गुणांक $\left(\mathrm{ax}^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{\mathrm{bx}^3}\right)^{15}$ के प्रसार, में $\mathrm{x}^{-15}$ के गुणांक के बराबर है, जहाँ $a$ तथा $b$ धनात्मक संख्याएँ है, तो ऐसे प्रत्येक क्रमित युग्म $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ के लिए :

यदि $\left(1+a x+b x^{2}\right)(1-2 x)^{18}$ के $x$ की घातों में प्रसार में $x^{3}$ तथा $x^{4}$, दोनों के गुणांक शून्य हैं, तो $(a, b)$ बराबर है :

$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+$ $\cdots \cdots+x^{1000}$ के द्विपद प्रसार में $x^{50}$ का गुणाँक है

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ के प्रसार में, यदि $x$ से स्वतंत्र पद का  निम्नतम मान $\ell_{1}$ है जब $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ तथा $x$ से स्वतंत्र पद का निम्नतम मान $\ell_{2}$ है जब $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$, तो अनुपात $\ell_{2}: \ell_{1}$ बराबर है

${\left( {2x - \frac{3}{x}} \right)^6}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद होगा

गुणांक ज्ञात कीजिए

$(a-2 b)^{12}$ में $a^{5} b^{7}$ का