दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए
$4 x ^{2}+9 y ^{2}=36$
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$4 x ^{2}+9 y ^{2}=36$
The given equation is $4 x ^{2}+9 y ^{2}=36$
It can be written as
$4 x^{2}+9 y^{2}=36$
Or , $\frac{ x ^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$
Or, $\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$ ......... $(1)$
Here, the denominator of $\frac{ x ^{2}}{3^{2}}$ is greater than the denominator of $\frac{y^{2}}{2^{2}}$
Therefore, the major axis is along the $x-$ axis, while the minor axis is along the $y-$ axis.
On comparing the given equation with $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1,$ we obtain $a=3$ and $b=2$
$\therefore c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
Therefore,
The coordinates of the foci are $(\pm \sqrt{5}, \,0)$
The coordinates of the vertices are $(±3,\,0)$
Length of major axis $=2 a=6$
Length of minor axis $=2 b=4$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 4}{3}=\frac{8}{3}$
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माना परवलय $y ^2=4 x$ की नाभिय जीवा $PQ$ इस प्रकार है कि यह बिन्दु $(3,0)$ पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण अन्तरित करती है। माना रेखाखण्ड $PQ$, दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a^2 > b^2$ की नाभिय जीवा भी है। यदि दीर्घवृत्त $E$ की उत्केन्द्रता $e$ है, तो $\frac{1}{ e ^2}$ का मान है :
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यदि अतिपरवलय ${x^2} - {y^2} = 9$ की एक स्पर्श जीवा $x = 9$ है, तो सम्बन्धित युगल स्पर्श रेखा $(Pair\,\, of\,\, tangents)$ का समीकरण है
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एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^x}=1(a > b)$, एवं एक परवलय $x^2=4(y+b)$ इस प्रकार हैं कि दीर्घवृत्त की दो नाभियाँ एवं परवलय के नाभिलम्ब के अन्तःबिंदु $(end\,points)$ एक वर्ग के शीर्ष हैं | दीर्घर्वृत की उत्केन्द्रता ?
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दीर्घवृत्त $2{x^2} + 5{y^2} = 20$ के सापेक्ष बिन्दु $(4, -3)$ की स्थिति है
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एक मेहराव अर्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का है। यह $8$ मीटर चौड़ा और केंद्र से $2$ मीटर ऊँचा है। एक सिरे से $1.5$ मीटर दूर बिंदु पर मेहराव की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
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