- Home
- Standard 11
- Mathematics
यदि दीर्घवृत्त $25 x ^2+4 y ^2=1$ पर स्थित बिन्दु $(\alpha, \beta)$ से परवलय $y ^2=4 x$ पर दो स्पर्श रेखायें इस प्रकार खींची जाती है कि एक स्पर्श रेखा की प्रवणता, दूसरी स्पर्श रेखा की प्रवणता की चार गुना है, तो $(10 \alpha+5)^2+\left(16 \beta^2+50\right)^2$ का मान
$7982$
$2898$
$2929$
$3289$
Solution
$\alpha=\frac{1}{5} \cos \theta, \beta=\frac{1}{2} \sin \theta$
Equation of tangent to $y ^{2}=4 x$
$y = mx +\frac{1}{ m }$
It passes through $(\alpha, \beta)$
$\frac{1}{2} \sin \theta=m \frac{1}{5} \cos \theta+\frac{1}{m}$
$m ^{2}\left(\frac{\cos \theta}{5}\right)- m \left(\frac{1}{2} \sin \theta\right)+1=0$
It has two roots $m_{1}$ and $m_{2}$ where $m_{1}=4 m_{2}$
$m _{1}+ m _{2}=\frac{\frac{1}{2} \sin \theta}{\frac{\cos \theta}{5}}$
$m _{1} m _{2}=\frac{5}{\cos \theta}$
After eliminating $m _{1}$ and $m _{2}$
$\cos \theta=\frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$
$\alpha=\frac{-5 \pm \sqrt{29}}{10} \Rightarrow 10 \alpha+5=\pm \sqrt{29}$
$\beta^{2}=\frac{1}{4} \sin ^{2} \theta \Rightarrow 16 \beta^{2}=-50 \pm 10 \sqrt{29}$
$(10 \alpha+5)^{2}+\left(16 \beta^{2}+50\right)^{2}$ $=2929$
