X तथा y अक्ष एक दीर्यवृत्त frac{left(x-x_0right)^2}{a^2}+frac{

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

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$x$ तथा $y$ अक्ष एक दीर्यवृत्त $\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}=1, a > b$, की स्पर्श रेखाएँ हैं, तथा यह दीर्षवृत्त पहले चुर्थांश में स्थित है। मान लीजिए $F_1$ एंव $F_2$ दीर्घवृत्त के दो केन्द्रीय बिंदु $(foci)$ हैं, तथा मूल बिन्दु $O$ इस तरह है कि $O F_1 < O F_2 \mid$ अगर $O F_1 F_2$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $\angle O F_1 F_2=120^{\circ}$, तब दीर्घवृत्त की उत्तेन्द्रता $(eccentricity)$ क्या होगी ?

A

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

B

$\frac{2}{3}$

C

$\frac{1}{2}$

D

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

(KVPY-2021)

Solution

(c)

$F _1 F _2= OF _1=2 ae$

$OC =\sqrt{ a ^2+ b ^2}$

$\cos 120^{\circ}=\frac{( ae )^2+4( ae )^2- a ^2- b ^2}{2 \cdot ae \cdot 2 ae }$

$\Rightarrow-\frac{1}{2}=\frac{5( ae )^2- a ^2- a ^2\left(1- e ^2\right)}{4 a ^2 e ^2}$

$\Rightarrow 8 e ^2=2$

$e =\frac{1}{2}$

Standard 11

Mathematics

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