આપેલ અતિવલય માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો: $5 y^{2}-9 x^{2}=36$
આપેલ અતિવલય માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો: $5 y^{2}-9 x^{2}=36$
The given equation is $5 y^{2}-9 x^{2}=36$
$\Rightarrow \frac{y^{2}}{\left(\frac{36}{5}\right)}-\frac{x^{2}}{4}=1$
$\Rightarrow \frac{y^{2}}{\left(\frac{6}{\sqrt{5}}\right)}-\frac{x^{2}}{2^{2}}=1$ ........... $(1)$
On comparing equation $( 1 )$ with the standard equation of hyperbola i.e., $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,$ we obtain $a=\frac{6}{\sqrt{5}}$ and $b=2$
We know that $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore c^{2}=\frac{36}{5}+4=\frac{56}{5}$
$\Rightarrow c=\sqrt{\frac{56}{5}}=\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$
Therefore, the coordinates of the foci are $\left(0,\,\pm \frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}\right)$
The coordinates of the vertices are $\left(0,\,\pm \frac{6}{\sqrt{5}}\right)$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}$ $=\frac{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}\right)}{\left(\frac{6}{\sqrt{5}}\right)}$ $=\frac{\sqrt{14}}{3}$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}$ $=\frac{2 \times 4}{\left(\frac{6}{\sqrt{5}}\right)}$ $=\frac{4 \sqrt{5}}{3}$
Similar Questions
$e_{1}$ અને $e_{2}$ એ બે ઉત્કેન્દ્રતાઓ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b<5)$ અને અતિવલય $\frac{ x ^{2}}{16}-\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ માટે $e _{1} e _{2}=1$ થાય. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે ઉપવલય અને અતિવલયના નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર હોય તો $(\alpha, \beta)$ ની જોડની કિમત શોધો.
$e_{1}$ અને $e_{2}$ એ બે ઉત્કેન્દ્રતાઓ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b<5)$ અને અતિવલય $\frac{ x ^{2}}{16}-\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ માટે $e _{1} e _{2}=1$ થાય. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે ઉપવલય અને અતિવલયના નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર હોય તો $(\alpha, \beta)$ ની જોડની કિમત શોધો.
- [JEE MAIN 2020]
અતિવલય $x^2 - 2y^2 - 2 = 0$ ના કોઇ બિંદુ પરથી તેના અનંત સ્પર્શકો પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર કેટલો થાય ?
અતિવલય $x^2 - 2y^2 - 2 = 0$ ના કોઇ બિંદુ પરથી તેના અનંત સ્પર્શકો પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર કેટલો થાય ?
અતિવલય $H$ નાં શિરોબિંદુઓ $(\pm \,6,0)$ અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{5}}{2}$ છે. ધારો કે $N$ એ,પ્રથમ ચરણમાં આવેલ કોઈક બિંદુ આગળ $H$ નો અભિલંબ છે અને તે રેખા $\sqrt{2} x+y=2 \sqrt{2}$ ને સમાંતર છે. જો $H$ અને $y$-અક્ષ વચ્યેના $N$ ના રેખાખંડની લંબાઈ $d$ હોય, તો $d^2=............$
અતિવલય $H$ નાં શિરોબિંદુઓ $(\pm \,6,0)$ અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{5}}{2}$ છે. ધારો કે $N$ એ,પ્રથમ ચરણમાં આવેલ કોઈક બિંદુ આગળ $H$ નો અભિલંબ છે અને તે રેખા $\sqrt{2} x+y=2 \sqrt{2}$ ને સમાંતર છે. જો $H$ અને $y$-અક્ષ વચ્યેના $N$ ના રેખાખંડની લંબાઈ $d$ હોય, તો $d^2=............$
- [JEE MAIN 2023]
ધારો કે $\lambda x-2 y=\mu$ એ અતિવલય $a^{2} x^{2}-y^{2}=b^{2}$ નો સ્પર્શક છે. તો $\left(\frac{\lambda}{a}\right)^{2}-\left(\frac{\mu}{b}\right)^{2}$ = ......
ધારો કે $\lambda x-2 y=\mu$ એ અતિવલય $a^{2} x^{2}-y^{2}=b^{2}$ નો સ્પર્શક છે. તો $\left(\frac{\lambda}{a}\right)^{2}-\left(\frac{\mu}{b}\right)^{2}$ = ......
- [JEE MAIN 2022]
પરવલય $y ^{2}=24 x$ પરના બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે જે રેખા $2 x+2 y=5$ ને લંબ છે તો અતિવલય $\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}-\frac{y^{2}}{\beta^{2}}=1$ નો બિંદુ $(\alpha+4, \beta+4)$ આગળનો અભિલંબએ . .. બિંદુમાંથી પસાર ન થાય.
પરવલય $y ^{2}=24 x$ પરના બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે જે રેખા $2 x+2 y=5$ ને લંબ છે તો અતિવલય $\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}-\frac{y^{2}}{\beta^{2}}=1$ નો બિંદુ $(\alpha+4, \beta+4)$ આગળનો અભિલંબએ . .. બિંદુમાંથી પસાર ન થાય.
- [JEE MAIN 2022]