प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए
शीर्ष $(0,\pm 3),$ नाभियाँ $(0,±5)$
प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए
शीर्ष $(0,\pm 3),$ नाभियाँ $(0,±5)$
Vertices $(0,\,\pm 3),$ foci $(0,\,±5)$
Here, the vertices are on the $y-$ axis.
Therefore, the equation of the hyperbola is of the form $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$
since the vertices are $(0,\,\pm 3), a=3$
since the foci are $(0,\,\pm 5), c=5$
We know that $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore 3^{2}+b^{2}=52$
$\Rightarrow b^{2}=25-9=16$
Thus, the equation of the hyperbola is $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$
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$m$ का वह मान जिसके लिए रेखा $y = mx + 6$ अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{100}} - \frac{{{y^2}}}{{49}} = 1$ की स्पर्श रेखा होगी, है
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अतिपरवलय (hyperbola)
$\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$
पर विचार कीजिए जिसकी नाभियाँ (foci) $S$ एवं $S _1$ पर हैं, जहाँ $S$ धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है। माना कि $P$ प्रथम चतुर्थाश (first quadrant) में अतिपरवलय पर एक बिंदु है। माना कि $\angle SPS _1=\alpha$ है, जहाँ $\alpha<\frac{\pi}{2}$ है। बिन्दु $S$ से जाने वाली सरल रेखा, जिसकी ढाल (slope) अतिपरवलय के बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा (tangent) के ढाल के बराबर है, सरल रेखा $S _1 P$ को $P _1$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। माना कि $P$ की सरल रेखा $SP _1$ से दूरी $\delta$ है, एवं $\beta= S _1 P$ है। तब $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}$ से कम या बराबर महत्तम पूर्णांक (greatest integer less than or equal to). . . . . . . . . है।
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- [IIT 2022]
अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$, पर सरल रेखा $2 x-y=1$ के समान्तर स्पर्श रेखाये खींची गयी है। इन स्पर्श रेखाओं के अतिपरवलय पर स्पर्श बिन्दु (points of contacts) निम्न है
$(A)$ $\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$(B)$ $\left(-\frac{9}{2 \sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$(C)$ $(3 \sqrt{3},-2 \sqrt{2})$
$(D)$ $(-3 \sqrt{3}, 2 \sqrt{2})$
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- [IIT 2012]
यदि रेखा $y = mx +7 \sqrt{3}$, अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{24}-\frac{y^{2}}{18}=1$ का अभिलंब है, तो $m$ का एक मान है :
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- [JEE MAIN 2019]
यदि अतिपरवलय का केन्द्र, शीर्ष तथा नाभि क्रमश: $ (0, 0), (4, 0)$ तथा $(6, 0)$ हों, तो अतिपरवलय का समीकरण होगा
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