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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola
hard
माना अतिपरवलय $H : \frac{ x ^2}{ a ^2}- y ^2=1$ तथा दीर्घवत्त $E : 3 x ^2+4 y ^2=12$ इस प्रकार है कि $H$ तथा $E$ के नाभिलम्बों की लम्बाईयाँ समान हैं। यदि $e _{ H }$ तथा $e_E$ क्रमशः $H$ तथा $E$ की उत्केन्द्रताएं हो, तो $12\left( e _{ H }^2+ e _{ E }^2\right)$ का मान होगा $...............$
A
$42$
B
$40$
C
$36$
D
$47$
(JEE MAIN-2022)
Solution
$\frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}-\frac{ y ^{2}}{1}=1$
$e _{ H }=\sqrt{1+\frac{1}{ a ^{2}}} \quad \frac{ x ^{2}}{4}+\frac{ y ^{2}}{3}=1$
$\ell \cdot R .=\frac{2}{ a } \quad \ell R =\frac{2 \times 3}{\frac{2}{1-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}$
$\frac{2}{ a }=3$
$a =\frac{2}{3}$
$e _{ H }=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$
$12\left( e _{ H }^{2}+ e _{ E }^{2}\right)=12\left(\frac{13}{4}+\frac{1}{4}\right)$
$=\frac{12 \times 14}{4}=42$
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