$\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}$ का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Using Binomial Theorem, the given expression $\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}$ can be expanded as

$\left[\left(3 x^{2}-2 a x\right)+3 a^{2}\right]^{3}$

$ = {\,^3}{C_0}{\left( {3{x^2} - 2ax} \right)^3} + {\,^3}{C_1}{\left( {3{x^2} - 2ax} \right)^2}\left( {3{a^2}} \right) + {\,^3}{C_2}\left( {3{x^2} - 2ax} \right){\left( {3{a^2}} \right)^2} + {\,^3}{C_3}{\left( {3{a^2}} \right)^3}$

$=\left(3 x^{2}-2 a x\right)^{3}+3\left(9 x^{4}-12 a x^{3}+4 a^{2} x^{2}\right)\left(3 a^{2}\right)+3\left(3 x^{2}-2 a x\right)\left(9 a^{4}\right)+27 a^{6}$

$=\left(3 x^{2}-2 a x\right)^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+36 a^{4} x^{2}+81 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$

$=\left(3 x^{2}-2 a x\right)^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$            ...........$(1)$

Again by using Binomial Theorem, we obtain

$\left(3 x^{2}-2 a x\right)^{3}$

$ = {\,^3}{C_0}{\left( {3{x^2}} \right)^3} - {\,^3}{C_1}{\left( {3{x^2}} \right)^2}(2ax) + {\,^3}{C_2}\left( {3{x^2}} \right){(2ax)^2} - {\,^3}{C_3}{(2ax)^3}$

$=27 x^{6}-3\left(9 x^{4}\right)(2 a x)+3\left(3 x^{2}\right)\left(4 a^{2} x^{2}\right)-8 a^{3} x^{3}$

$=27 x^{6}-54 a x^{5}+36 a^{2} x^{4}-8 a^{3} x^{3}$           ............$(2)$

From $(1)$ and $(2),$ we obtain

$\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}$

$=27 x^{6}-54 a x^{5}+36 a^{2} x^{4}-8 a^{3} x^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$

$=27 x^{6}-54 a x^{5}+117 a^{2} x^{4}-116 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$

Similar Questions

यदि धनात्मक पूर्णांकों $r > 1,n > 2$ के लिए ${(1 + x)^{2n}} $ के विस्तार में $x$ की $(3r)$ वीं तथा $(r + 2)$ वीं घांतों के गुणांक समान हों, तब

  • [AIEEE 2002]

यदि $\left(3^{1 / 2}+5^{1 / 8}\right)^{ n }$ के प्रसार में पूर्णाकीय पदों की संख्या मात्र $33$ है, तो $n$ का न्यूनतम मान है

  • [JEE MAIN 2020]

$\left(\frac{x+1}{x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1}-\frac{x-1}{x-x^{1 / 2}}\right)^{10}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद है

  • [JEE MAIN 2013]

$\left(1+x+x^{2}\right)^{10}$ के प्रसार में $x^{4}$ का गुणांक है

  • [JEE MAIN 2020]

यदि $( x +1)^{ n }$ के $x$ की घातों में द्विपद प्रसार में कोई तीन क्रमागत गुणांक $2: 15: 70$ के अनुपात में है, तो इन तीन गुणांकों का औसत हैं 

  • [JEE MAIN 2019]