દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી $\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}$ નું વિસ્તરણ કરો.
Using Binomial Theorem, the given expression $\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}$ can be expanded as
$\left[\left(3 x^{2}-2 a x\right)+3 a^{2}\right]^{3}$
$ = {\,^3}{C_0}{\left( {3{x^2} - 2ax} \right)^3} + {\,^3}{C_1}{\left( {3{x^2} - 2ax} \right)^2}\left( {3{a^2}} \right) + {\,^3}{C_2}\left( {3{x^2} - 2ax} \right){\left( {3{a^2}} \right)^2} + {\,^3}{C_3}{\left( {3{a^2}} \right)^3}$
$=\left(3 x^{2}-2 a x\right)^{3}+3\left(9 x^{4}-12 a x^{3}+4 a^{2} x^{2}\right)\left(3 a^{2}\right)+3\left(3 x^{2}-2 a x\right)\left(9 a^{4}\right)+27 a^{6}$
$=\left(3 x^{2}-2 a x\right)^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+36 a^{4} x^{2}+81 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$
$=\left(3 x^{2}-2 a x\right)^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$ ...........$(1)$
Again by using Binomial Theorem, we obtain
$\left(3 x^{2}-2 a x\right)^{3}$
$ = {\,^3}{C_0}{\left( {3{x^2}} \right)^3} - {\,^3}{C_1}{\left( {3{x^2}} \right)^2}(2ax) + {\,^3}{C_2}\left( {3{x^2}} \right){(2ax)^2} - {\,^3}{C_3}{(2ax)^3}$
$=27 x^{6}-3\left(9 x^{4}\right)(2 a x)+3\left(3 x^{2}\right)\left(4 a^{2} x^{2}\right)-8 a^{3} x^{3}$
$=27 x^{6}-54 a x^{5}+36 a^{2} x^{4}-8 a^{3} x^{3}$ ............$(2)$
From $(1)$ and $(2),$ we obtain
$\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}$
$=27 x^{6}-54 a x^{5}+36 a^{2} x^{4}-8 a^{3} x^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$
$=27 x^{6}-54 a x^{5}+117 a^{2} x^{4}-116 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$
${\left( {\frac{a}{x} + bx} \right)^{12}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{-10}$ સહગુણક મેળવો.
${(1 + x)^{2n}}$ ના વિસ્તરણમાં મહતમ પદને મહતમ સહગુણક હોય તો $x$ ની કિમતોનો અંતરાલ મેળવો.
$(1+a)^{m+n}$ ના વિસ્તરણમાં વર્ષ $a^{m}$ અને $a^{n}$ ના સહગુણકો સમાન છે તેમ સાબિત કરો.
${\left( {x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{15}}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ મેળવો.
$\left(x^4-\frac{1}{x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{18}$ નો સહગુણક $........$ છે.