આપેલ પ્રત્યેક માહિતી માટે મધ્યક અને વિચરણ શોધો :
પ્રથમ $n-$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ
આપેલ પ્રત્યેક માહિતી માટે મધ્યક અને વિચરણ શોધો :
પ્રથમ $n-$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ
The mean of first $n$ natural numbers is calculated as follows.
Mean $=\frac{\text { Sum of all observations }}{\text { Number of observations }}$
$\therefore$ Mean $=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}=\frac{n+1}{2}$
Varianvce $\left( {{\sigma ^2}} \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $
$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left[ {{x_i} - \left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)} \right]}^2}} $
$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {2\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)} } {x_i} + \frac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)} ^2}$
$=\frac{1}{n} \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-\left(\frac{n+1}{n}\right)\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]+\frac{(n+1)^{2}}{4 n} \times n$
$=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\frac{(n+1)^{2}}{2}+\frac{(n+1)^{2}}{4}$
$=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\frac{(n+1)^{2}}{4}$
$=(n+1)\left[\frac{4 n+2-3 n-3}{12}\right]$
$=\frac{(n+1)(n-1)}{12}$
$=\frac{n^{2}-1}{12}$
Similar Questions
એક કસોટીમાં વિદ્યાર્થીઓએ મેળવેલ ગુણના મધ્યક તથા વિચરણ અનુક્રમે $10$ અને $4$ છે. ત્યાર બાદ, એક વિદ્યાર્થીના ગુણ $8$ થી વધારીને $12$ કરવામાં આવે છે. જો ગુણનો નવો મધ્યક $10.2$ હોય, તો તેમનું નવું વિચરણ $...............$ થશે.
એક કસોટીમાં વિદ્યાર્થીઓએ મેળવેલ ગુણના મધ્યક તથા વિચરણ અનુક્રમે $10$ અને $4$ છે. ત્યાર બાદ, એક વિદ્યાર્થીના ગુણ $8$ થી વધારીને $12$ કરવામાં આવે છે. જો ગુણનો નવો મધ્યક $10.2$ હોય, તો તેમનું નવું વિચરણ $...............$ થશે.
- [JEE MAIN 2023]
$2n$ અવલોકનનો વાળી શ્રેણીમાં તે પૈકી અડધા અવલોકનો $a$ બરાબર અને બાકીના $-a $ છે. જો અવલોકનોનું પ્રમાણિત વિચલન $2$ હોય તો $| a | $ બરાબર શું થાય ?
$2n$ અવલોકનનો વાળી શ્રેણીમાં તે પૈકી અડધા અવલોકનો $a$ બરાબર અને બાકીના $-a $ છે. જો અવલોકનોનું પ્રમાણિત વિચલન $2$ હોય તો $| a | $ બરાબર શું થાય ?
જો બે $20$ અવલોકનો ધરાવતા ગણો છે જેના પ્રમાણિત વિચલન સમાન અને $5$ છે તેમાંથી એક ગણનો મધ્યક $17$ અને બીજા ગણનો મધ્યક $22$ છે તો બંને ગણોના સમૂહનો પ્રમાણિત વિચલન મેળવો
જો બે $20$ અવલોકનો ધરાવતા ગણો છે જેના પ્રમાણિત વિચલન સમાન અને $5$ છે તેમાંથી એક ગણનો મધ્યક $17$ અને બીજા ગણનો મધ્યક $22$ છે તો બંને ગણોના સમૂહનો પ્રમાણિત વિચલન મેળવો
મધ્યસ્થ વડે $40, 62, 54, 90, 68, 76 $ અવલોકનોના સરેરાશ વિચલનનો ચલનાંક કેટલો થાય ?
મધ્યસ્થ વડે $40, 62, 54, 90, 68, 76 $ અવલોકનોના સરેરાશ વિચલનનો ચલનાંક કેટલો થાય ?
ધારો કે અવલોકનો $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}(1 \leq \mathrm{i} \leq 10)$ એ સમીકરણો $\sum\limits_{i=1}^{10}\left(x_{i}-5\right)=10$ અને $\sum\limits_{i=1}^{10}\left(x_{i}-5\right)^{2}=40$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\mu$ અને $\lambda$ એ અનુક્રમે અવલોકનો $\mathrm{x}_{1}-3, \mathrm{x}_{2}-3, \ldots ., \mathrm{x}_{10}-3,$ નો મધ્યક અને વિચરણ હોય તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\mu, \lambda)$ મેળવો.
ધારો કે અવલોકનો $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}(1 \leq \mathrm{i} \leq 10)$ એ સમીકરણો $\sum\limits_{i=1}^{10}\left(x_{i}-5\right)=10$ અને $\sum\limits_{i=1}^{10}\left(x_{i}-5\right)^{2}=40$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\mu$ અને $\lambda$ એ અનુક્રમે અવલોકનો $\mathrm{x}_{1}-3, \mathrm{x}_{2}-3, \ldots ., \mathrm{x}_{10}-3,$ નો મધ્યક અને વિચરણ હોય તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\mu, \lambda)$ મેળવો.
- [JEE MAIN 2020]