જો $(x-i y)(3+5 i)$ એ $-6-24 i$ ની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા હોય, તો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ શોધો.
જો $(x-i y)(3+5 i)$ એ $-6-24 i$ ની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા હોય, તો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ શોધો.
Let $z=(x-i y)(3+5 i)$
$z=3 x+5 x i-3 y i-5 y i^{2}=3 x+5 x i-3 y i+5 y=(3 x+5 y)+i(5 x-3 y)$
$\therefore \bar{z}=(3 x+5 y)-i(5 x-3 y)$
It is given that, $\bar{z}=-6-24 i$
$\therefore(3 x+5 y)-i(5 x-3 y)=-6-24 i$
Equating real and imaginary parts, we obtain
$3 x+5 y=-6$.....$(i)$
$5 x-3 y=24$....$(ii)$
Multiplying equation $(i)$ by $3$ and equation $(ii)$ by $5$ and then adding them, we obtain
$9 x+15 y=-18$
${25 x-15 y=120}$
$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$
${34 x=102}$
$\therefore x=\frac{102}{34}=3$
Putting the value of $x$ in equation $(i),$ we obtain
$3(3)+5 y=-6$
$\Rightarrow 5 y=-6-9=-15$
$\Rightarrow y=-3$
Thus, the values of $x$ and $y$ are $3 $ and $-3$ respectively.
Similar Questions
$\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)$ નો કોણાંક મેળવો.
$\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)$ નો કોણાંક મેળવો.
વિધાનો
વિધાન $I$: કોઈ બે શુન્યેતર સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$
માટે $\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)$ અને
વિધાન $II$ : જો $x, y, z$ એ ત્રણ ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ હોય તથા $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ એ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી હોય કે જેથી
$\frac{\mathrm{a}}{|y-z|}=\frac{\mathrm{b}}{|z-x|}=\frac{\mathrm{c}}{|x-y|}$ તો $\frac{\mathrm{a}^2}{y-z}+\frac{\mathrm{b}^2}{z-x}+\frac{\mathrm{c}^2}{x-y}=1$
વિધાનો
વિધાન $I$: કોઈ બે શુન્યેતર સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$
માટે $\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)$ અને
વિધાન $II$ : જો $x, y, z$ એ ત્રણ ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ હોય તથા $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ એ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી હોય કે જેથી
$\frac{\mathrm{a}}{|y-z|}=\frac{\mathrm{b}}{|z-x|}=\frac{\mathrm{c}}{|x-y|}$ તો $\frac{\mathrm{a}^2}{y-z}+\frac{\mathrm{b}^2}{z-x}+\frac{\mathrm{c}^2}{x-y}=1$
- [JEE MAIN 2024]
જો ગણ $\left\{\operatorname{Re}\left(\frac{z-\bar{z}+z \bar{z}}{2-3 z+5 \bar{z}}\right): z \in C , \operatorname{Re}(z)=3\right\}$ બરાબર અંતરાલ $(\alpha, \beta]$ હોય,તો $24(\beta-\alpha)=..........$
જો ગણ $\left\{\operatorname{Re}\left(\frac{z-\bar{z}+z \bar{z}}{2-3 z+5 \bar{z}}\right): z \in C , \operatorname{Re}(z)=3\right\}$ બરાબર અંતરાલ $(\alpha, \beta]$ હોય,તો $24(\beta-\alpha)=..........$
- [JEE MAIN 2023]
જો ${z_1} = 1 + 2i$ અને ${z_2} = 3 + 5i$ તો $\operatorname{Re} \left( {\frac{{{{\bar z}_2}{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)$ = . . .
જો ${z_1} = 1 + 2i$ અને ${z_2} = 3 + 5i$ તો $\operatorname{Re} \left( {\frac{{{{\bar z}_2}{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)$ = . . .
$arg\left( {\frac{{3 + i}}{{2 - i}} + \frac{{3 - i}}{{2 + i}}} \right)$= . . . ..
$arg\left( {\frac{{3 + i}}{{2 - i}} + \frac{{3 - i}}{{2 + i}}} \right)$= . . . ..