$1$ से $100$ तक आने वाले उन सभी पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो $2$ या $5$ से विभाजित हों।
The integers from $1$ to $100,$ which are divisible by $2,$ are $2,4,6 \ldots \ldots 100$
This forms an $A.P.$ with both the first term and common difference equal to $2.$
$\Rightarrow 100=2+(n-1) 2$
$\Rightarrow n=50$
$\therefore 2+4+6+\ldots \ldots+100=\frac{50}{2}[2(2)+(50-1)(2)]$
$=\frac{50}{2}[4+98]$
$=(25)(102)$
$=2550$
The integers from $1$ to $100 ,$ which are divisible by $5,10 \ldots . .100$
This forms an $A.P.$ with both the first term and common difference equal to $5 .$
$\therefore 100=5+(n-1) 5$
$\Rightarrow 5 n=100$
$\Rightarrow n=20$
$\therefore 5+10+\ldots .+100=\frac{20}{2}[2(5)+(20-1) 5]$
$=10[10+(19) 5]$
$=10[10+95]=10 \times 105$
$=1050$
The integers, which are divisible by both $2$ and $5,$ are $10,20, \ldots \ldots 100$
This also forms an $A.P.$ with both the first term and common difference equal to $10.$
$\therefore 100=10+(n-1)(10)$
$\Rightarrow 100=10 n$
$\Rightarrow n=10$
$\therefore 10+20+\ldots .+100=\frac{10}{2}[2(10)+(10-1)(10)]$
$=5[20+90]=5(110)=550$
$\therefore$ Required sum $=2550+1050-550=3050$
Thus, the sum of the integers from $1$ to $100,$ which are divisible by $2$ or $5,$ is $3050$
यदि $a$ और $b$के बीच का समान्तर माध्य $\frac{{{a^{n + 1}} + {b^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n}}}$है, तो $n$ का मान होगा
यदि $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots \ldots \ldots, a _{ n }$ एक समान्तर श्रेढ़ी में है तथा $a_{1}+a_{4}+a_{7}+\ldots \ldots . .+a_{16}=114$, है, तो $a_{1}+a_{6}+a_{11}+a_{16}$ बराबर है
अनुक्रम, जिसका $n$ वाँ पद $\left( {\frac{n}{x}} \right) + y$ हो, तो श्रेणी के $r$ पदों का योगफल होगा
माना तीन अंक $a, b, c$ $A.P.$ में हैं। इनमें से प्रत्येक अंक को तीन बार प्रयोग कर $9$ अंको की संख्याएँ इस प्रकार बनाई जाती है कि तीन क्रमागत संख्याएँ कम से कम एक बार $A.P.$ में हो। इस प्रकार की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती है ?
यदि किसी समान्तर श्रेणी का $p$ वाँ पद $\frac{1}{q}$ और $q$ वाँ पद $\frac{1}{p}$ है, तो इसके $pq$ पदों का योग होगा