$1$ से $100$ तक आने वाले उन सभी पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो $2$ या $5$ से विभाजित हों।
The integers from $1$ to $100,$ which are divisible by $2,$ are $2,4,6 \ldots \ldots 100$
This forms an $A.P.$ with both the first term and common difference equal to $2.$
$\Rightarrow 100=2+(n-1) 2$
$\Rightarrow n=50$
$\therefore 2+4+6+\ldots \ldots+100=\frac{50}{2}[2(2)+(50-1)(2)]$
$=\frac{50}{2}[4+98]$
$=(25)(102)$
$=2550$
The integers from $1$ to $100 ,$ which are divisible by $5,10 \ldots . .100$
This forms an $A.P.$ with both the first term and common difference equal to $5 .$
$\therefore 100=5+(n-1) 5$
$\Rightarrow 5 n=100$
$\Rightarrow n=20$
$\therefore 5+10+\ldots .+100=\frac{20}{2}[2(5)+(20-1) 5]$
$=10[10+(19) 5]$
$=10[10+95]=10 \times 105$
$=1050$
The integers, which are divisible by both $2$ and $5,$ are $10,20, \ldots \ldots 100$
This also forms an $A.P.$ with both the first term and common difference equal to $10.$
$\therefore 100=10+(n-1)(10)$
$\Rightarrow 100=10 n$
$\Rightarrow n=10$
$\therefore 10+20+\ldots .+100=\frac{10}{2}[2(10)+(10-1)(10)]$
$=5[20+90]=5(110)=550$
$\therefore$ Required sum $=2550+1050-550=3050$
Thus, the sum of the integers from $1$ to $100,$ which are divisible by $2$ or $5,$ is $3050$
$250$ से $1000 $ तक की संख्यायें जो $3$ से विभाजित हों, का योग होगा
यदि $\log _{3} 2, \log _{3}\left(2^{x}-5\right), \log _{3}\left(2^{x}-\frac{7}{2}\right)$ एक समांतर श्रेढ़ी में है, तो $x$ का मान बराबर है .............. |
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम $p$ पदों का योग, प्रथम $q$ पदों के योगफल के बराबर हो तो प्रथम $(p+q)$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
माना $a _{1}, a _{2}, \ldots \ldots, a _{21}$ समांतर श्रेढ़ी में इस प्रकार हैं कि $\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\frac{4}{9}$ है। यदि इस समांतर श्रेढ़ी का योगफल 189 है, तब $a _{6} a _{16}$ बराबर है
मान लें कि एक समांतर श्रेणी $(arithmetic\,progression)$ के पहले $m$ पदों का योग $n$ है एवं इसके पहले $n$ पदों का योग $m$ है। यहाँ $m \neq n$ है। तब इस श्रेणी के पहले $(m+n)$ पदों का योग होगा: