નીચેની શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધો :
$6+.66+.666+\ldots$
નીચેની શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધો :
$6+.66+.666+\ldots$
$6+.66+.666+\ldots$
Let $S_{n}=06+0.66+0.666+\ldots .$ to $n$ terms
$=6[0.1+0.11+0.111+\ldots . \text { to } n \text { terms }]$
$=\frac{6}{9}[0.9+0.99+0.999+\ldots . . \text { to } n \text { terms }]$
$=\frac{6}{9}\left[\left(1-\frac{1}{10}\right)+\left(1-\frac{1}{10^{2}}\right)+\left(1-\frac{1}{10^{3}}\right)+\ldots . \text { to } n \text { terms }\right]$
$=\frac{2}{3}\left[(1+1+\ldots n \text { terms })-\frac{1}{10}\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\ldots n \text { terms }\right)\right]$
$=\frac{2}{3}\left[n-\frac{1}{10}\left(\frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n}}{1-\frac{1}{10}}\right)\right]$
$=\frac{2}{3} n-\frac{2}{30} \times \frac{10}{9}\left(1-10^{-n}\right)$
$=\frac{2}{3} n-\frac{2}{27}\left(1-10^{-n}\right)$
Similar Questions
જો ${\text{a}}$ અને ${\text{b}}$ વચ્ચેનો સમગુણોત્તર મધ્યક $\frac{{{a^{n + 1}}\, + \,{b^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n}}}\,\,$ હોય , તો ${\text{n}} $ નું કેટલું થાય ?
જો ${\text{a}}$ અને ${\text{b}}$ વચ્ચેનો સમગુણોત્તર મધ્યક $\frac{{{a^{n + 1}}\, + \,{b^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n}}}\,\,$ હોય , તો ${\text{n}} $ નું કેટલું થાય ?
ધારો કે $a, a r, a r^2$, ......... એક સમગુણોતર શ્રેણી છે. જો $\sum_{n=0}^{\infty} a r^n=57$ અને $\sum_{n=0}^{\infty} a^3 r^{3 n}=9747$ હોય, તો $a+18 r=$ ..........
ધારો કે $a, a r, a r^2$, ......... એક સમગુણોતર શ્રેણી છે. જો $\sum_{n=0}^{\infty} a r^n=57$ અને $\sum_{n=0}^{\infty} a^3 r^{3 n}=9747$ હોય, તો $a+18 r=$ ..........
- [JEE MAIN 2024]
જો સમગુણોત્તર શ્રેણી $a_1, a_2, a_3......$ નું પ્રથમ પદ એક છે કે જેથી $4a_2 + 5a_3$ એ ન્યૂનતમ થાય તો સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર મેળવો.
જો સમગુણોત્તર શ્રેણી $a_1, a_2, a_3......$ નું પ્રથમ પદ એક છે કે જેથી $4a_2 + 5a_3$ એ ન્યૂનતમ થાય તો સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર મેળવો.
ધારોકે $a_1, a_2, a_3, \ldots .$. વધતી ધન સંખ્યાઓ ની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.ધારોકે તેના છઠા અને $8$મા પદોનો સરવાળો $2$ છે તથા તેના ત્રીજા અને $5$મા પદોનો ગુણાકાર $\frac{1}{9}$ છે.તો $6\left(a_2+a_4\right)\left(a_4+a_6\right)=.....$
ધારોકે $a_1, a_2, a_3, \ldots .$. વધતી ધન સંખ્યાઓ ની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.ધારોકે તેના છઠા અને $8$મા પદોનો સરવાળો $2$ છે તથા તેના ત્રીજા અને $5$મા પદોનો ગુણાકાર $\frac{1}{9}$ છે.તો $6\left(a_2+a_4\right)\left(a_4+a_6\right)=.....$
- [JEE MAIN 2023]
ધારોકે $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એ વધતી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ની સમગુણોતર શ્રેણી છે. જો ચોથા અને છઠા પદોનો ગુણાકાર $9$ હોય અને સાતમુપદ $24$ હોય, તો $a_1 a_9+a_2 a_4 a_9+a_5+a_7=...................$
ધારોકે $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એ વધતી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ની સમગુણોતર શ્રેણી છે. જો ચોથા અને છઠા પદોનો ગુણાકાર $9$ હોય અને સાતમુપદ $24$ હોય, તો $a_1 a_9+a_2 a_4 a_9+a_5+a_7=...................$
- [JEE MAIN 2023]