- Home
- Standard 11
- Mathematics
$0<\mathrm{c}<\mathrm{b}<\mathrm{a}$ માટે , જો $(\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}) \mathrm{x}^2+(\mathrm{b}+\mathrm{c}-2 \mathrm{a}) \mathrm{x}$ $+(c+a-2 b)=0$ અને $\alpha \neq 1$ એ એક બીજ હોય તો આપલે પૈકી બે વિધાન પૈકી
$(I)$ જો $\alpha \in(-1,0)$, હોય તો $\mathrm{b}$ એ $\mathrm{a}$ અને $\mathrm{c}$ નો સમગુણોતર મધ્યક બની શકે નહીં.
$(II)$ જો $\alpha \in(0,1)$ હોય તો $\mathrm{b}$ એ $a$ અને $c$ નો સમગુણોતર મધ્યક બની શકે.
બંને $(I)$ અને $(II) $ સાચા છે
બંને $(I)$ અને $(II) $ સાચા નથી
માત્ર $(II)$ જ સાચું છે
માત્ર $(I)$ જ સાચું છે
Solution
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}) \mathrm{x}^2+(\mathrm{b}+\mathrm{c}-2 \mathrm{a}) \mathrm{x}+(\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}) $
$ \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}+\mathrm{b}+\mathrm{c}-2 \mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}=0$
$ \mathrm{f}(1)=0 $
$\therefore \alpha \cdot 1=\frac{\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}} $
$ \alpha=\frac{\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}} $
$ \text { If, }-1<\alpha<0 $
$ -1<\frac{\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}}<0$
$\mathrm{b}+\mathrm{c}<2 \mathrm{a} \text { and } \mathrm{b}>\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}}{2}$
therefore, $\mathrm{b}$ cannot be G.M. between $\mathrm{a}$ and $\mathrm{c}$.
If, $0<\alpha<1$
$0<\frac{\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}}<1$
$\mathrm{b}>\mathrm{c}$ and $\mathrm{b}<\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}}{2}$
Therefore, $\mathrm{b}$ may be the $G.M.$ between $\mathrm{a}$ and $\mathrm{c}$.
