निम्नलिखित श्रेणियों के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

$6+.66+.666+\ldots$

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$6+.66+.666+\ldots$

Let $S_{n}=06+0.66+0.666+\ldots .$ to $n$ terms

$=6[0.1+0.11+0.111+\ldots . \text { to } n \text { terms }]$

$=\frac{6}{9}[0.9+0.99+0.999+\ldots . . \text { to } n \text { terms }]$

$=\frac{6}{9}\left[\left(1-\frac{1}{10}\right)+\left(1-\frac{1}{10^{2}}\right)+\left(1-\frac{1}{10^{3}}\right)+\ldots . \text { to } n \text { terms }\right]$

$=\frac{2}{3}\left[(1+1+\ldots n \text { terms })-\frac{1}{10}\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\ldots n \text { terms }\right)\right]$

$=\frac{2}{3}\left[n-\frac{1}{10}\left(\frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n}}{1-\frac{1}{10}}\right)\right]$

$=\frac{2}{3} n-\frac{2}{30} \times \frac{10}{9}\left(1-10^{-n}\right)$

$=\frac{2}{3} n-\frac{2}{27}\left(1-10^{-n}\right)$

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एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, जिसका दूसरा पद $2$ तथा अनन्त पदों का योग $8$ है, होगा

अनुक्रम $\sqrt 2 ,\;\sqrt {10} ,\;5\sqrt 2 ,\;.......$ का $7$ वाँ पद है

यदि  किसी गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S$ एवं गुणनफल $P$ है तथा उनके व्युत्क्रमों का योग $R$ है, तो ${P^2}$ का मान है  

  • [IIT 1966]

संख्या $111..............1$ ($91$ बार) है

श्रेणी $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{{15}}{{16}} + .........$ के प्रथम $n$ पदों का योग है  

  • [IIT 1988]