मान लीजिए कि त्रिभुज $A B C$ की भुजाएँ $a, b, c$ हैं, एवं वह $b^2=a c$ को संतुष्ट करती हैं। तब $\frac{\sin A \cot C+\cos A}{\sin B \cot C+\cos B}$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय क्या होगा ?

  • [KVPY 2021]
  • A

    $(0, \infty)$

  • B

    $\left(0, \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$

  • C

    $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$

  • D

    $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \infty\right)$

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एक गुणोत्तर श्रेणी का तीसरा पद, पहले पद का वर्ग है। यदि दूसरा पद $8$ है, तब छँठा पद है

$0.14189189189….$ को निम्न परिमेय संख्या के रूप में निरूपित कर सकते हैं

एक अनंन्त $GPa , ar , a r ^{2}, a r ^{3}, \ldots$ का योग 15 है तथा इसके प्रत्येक पद का वर्ग करने का योग 150 है, तो $a r^{2}, a r^{4}, a r^{6}, \ldots$ का योग है।

  • [JEE MAIN 2021]

कार्तीय तल में $C_1, C_2, \ldots, C_n$, जहां $n \geq 3$, नामक वृत्त दिये गये हैं जिनकी त्रिज्या क्रमानुसार $r_1, r_2, \ldots, r_n$ है। प्रत्येक $i$, $1 \leq i \leq n-1$ के लिए, वृत्त $C_i$ तथा $C_{i+1}$ एक दूसरे को बाह्य रूप से छूते हैं। यदि $x$-अक्ष तथा रेखा $y=2 \sqrt{2} x+10$ दोनों ही दिये गए सारे वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ है तो क्रमानुसार सूची $r_1, r_2, \ldots, r_n$

  • [KVPY 2014]

यदि $x,\;y,\;z$ गुणोत्तर श्रेणी में हों व ${a^x} = {b^y} = {c^z}$, तो

  • [IIT 1966]