Left(√[3]{x}+frac{1}{2 √[3]{x}}right)^{18}, x>0 के प्रसार में x से

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7.Binomial Theorem

medium

$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2 \sqrt[3]{x}}\right)^{18}, x>0$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद ज्ञात कीजिए।

Option A

Option B

Option C

Option D

Solution

We have ${T_{r + 1}} = {\,^{18}}{C_r}{(\sqrt[3]{x})^{18 – r}}{\left( {\frac{1}{{2\sqrt[3]{x}}}} \right)^r}$

$ = {\,^{18}}{C_r}{x^{\frac{{18 – r}}{3}}} \cdot \frac{1}{{{2^r} \cdot {x^{\frac{r}{3}}}}} = {\,^{18}}{C_r}\frac{1}{{{2^r}}} \cdot {x^{\frac{{18 – 2r}}{3}}}$

Since we have to find a term independent of $x$, i.e., term not having $x$, so take $\frac{18-2 r}{3}=0$

We get $r=9 .$ The required term is ${\,^{18}}{C_9}\frac{1}{{{2^9}}}$

Standard 11

Mathematics

$\sum\limits_{m = 0}^{100} {{\,^{100}}{C_m}{{(x – 3)}^{100 – m}}} {.2^m}$ के विस्तार में ${x^{53}}$ का गुणांक है

hard

${(x + 3)^6}$ के विस्तार में ${x^5}$ का गुणांक होगा

easy

${(1 + x)^{2n}}$ के विस्तार में मध्य पद होगा

easy

माना कि $m$ ऐसा न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक (smallest positive integer) है कि $(1+x)^2+(1+x)^3+\cdots+(1+x)^{49}+(1+m x)^{50}$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक $(3 n+1)^{51} C_3$ किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए है। तब $n$ का मान है

normal

(IIT-2016)

दिखाइए कि $(1+x)^{2 n}$ के प्रसार में मध्य पद का गुणांक, $(1+x)^{2 n-1}$ के प्रसार में दोनों मध्य पदों के गुणांकों के योग के बराबर होता है।