જો $a$ અને $b$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}$ હોય, તો નું મૂલ્ય શોધો.
$M$. of $a$ and $b$ is $\sqrt{a b}$
By the given condition: $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}=\sqrt{a b}$
Squaring both sides, we obtain
$\frac{\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)^{2}}{\left(a^{n}+b^{n}\right)^{2}}=a b$
$\Rightarrow a^{2 n+2}+2 a^{n+1} b^{n+1}+b^{2 n+2}=(a b)\left(a^{2 n}+2 a^{n} b^{n}+b^{2 n}\right)$
$\Rightarrow a^{2 n+2}+2 a^{n+1} b^{n+1}+b^{2 n+2}=a^{2 n+1} b+2 a^{n+1} b^{n+1}+a b^{2 n+1}$
$\Rightarrow a^{2 n+2}+b^{2 n+2}=a^{2 n+1} b+a b^{2 n+1}$
$\Rightarrow a^{2 n+2}-a^{2 n+1} b=a b^{2 n+1}-b^{2 n+2}$
$\Rightarrow a^{2 n+1}(a-b)=b^{2 n+1}(a-b)$
$\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^{2 n+1}=1=\left(\frac{a}{b}\right)^{0}$
$\Rightarrow 2 n+1=0$
$\Rightarrow n=\frac{-1}{2}$
જો $a = r + r^2 + r^3 + …..+\infty$ હોય તો $r$ નું મૂલ્ય ....... છે.
$2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots .$ to $\infty$ ની કિમંત મેળવો.
જો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પ્રથમ પાંચ પદોના સરવાળા અને પ્રથમ પાંચ પદોના વ્યસ્તના સરવાળા નો ગુણોત્તર $49$ અને પહેલા તથા ત્રીજા પદનો સરવાળો $35$ થાય તો શ્રેણીનું પ્રથમ પદ મેળવો.
$\frac{{a + bx}}{{a - bx}} = \frac{{b + cx}}{{b - cx}} = \frac{{c + dx}}{{c - dx}},\,\,(x \ne 0)$ હોય તો ${\text{a, b, c}}$ અને ${\text{d}}$ એ...........
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને $n$ મું પદ છે. જો $n$ પદોનો ગુણાકાર $P$ હોય, તો સાબિત કરો કે $P^{2}=(a b)^{n}$