જો $a$ અને $b$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}$ હોય, તો નું મૂલ્ય શોધો.
જો $a$ અને $b$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}$ હોય, તો નું મૂલ્ય શોધો.
$M$. of $a$ and $b$ is $\sqrt{a b}$
By the given condition: $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}=\sqrt{a b}$
Squaring both sides, we obtain
$\frac{\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)^{2}}{\left(a^{n}+b^{n}\right)^{2}}=a b$
$\Rightarrow a^{2 n+2}+2 a^{n+1} b^{n+1}+b^{2 n+2}=(a b)\left(a^{2 n}+2 a^{n} b^{n}+b^{2 n}\right)$
$\Rightarrow a^{2 n+2}+2 a^{n+1} b^{n+1}+b^{2 n+2}=a^{2 n+1} b+2 a^{n+1} b^{n+1}+a b^{2 n+1}$
$\Rightarrow a^{2 n+2}+b^{2 n+2}=a^{2 n+1} b+a b^{2 n+1}$
$\Rightarrow a^{2 n+2}-a^{2 n+1} b=a b^{2 n+1}-b^{2 n+2}$
$\Rightarrow a^{2 n+1}(a-b)=b^{2 n+1}(a-b)$
$\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^{2 n+1}=1=\left(\frac{a}{b}\right)^{0}$
$\Rightarrow 2 n+1=0$
$\Rightarrow n=\frac{-1}{2}$
Similar Questions
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં ત્રીજા અને ચોથા પદનો સરવાળો $60$ અને તે શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદોનો ગુણાકાર $1000$ છે. જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ ધન હોય તો સાતમું પદ મેળવો ?
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં ત્રીજા અને ચોથા પદનો સરવાળો $60$ અને તે શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદોનો ગુણાકાર $1000$ છે. જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ ધન હોય તો સાતમું પદ મેળવો ?
- [JEE MAIN 2015]
શ્રેણીઓ $a,$ $ar,$ $a r^{2},$ $......a r^{n-1}$ અને $A, A R, A R^{2}, \ldots, A R^{n-1}$ નાં સંગત પદોના ગુણાકાર દ્વારા મળતાં પદો સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે તેમ સાબિત કરો અને તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.
શ્રેણીઓ $a,$ $ar,$ $a r^{2},$ $......a r^{n-1}$ અને $A, A R, A R^{2}, \ldots, A R^{n-1}$ નાં સંગત પદોના ગુણાકાર દ્વારા મળતાં પદો સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે તેમ સાબિત કરો અને તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ત્રણ પદનો સરવાળો $19$ અને ગુણાકાર $216$ હોય, તો આ શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર...... છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ત્રણ પદનો સરવાળો $19$ અને ગુણાકાર $216$ હોય, તો આ શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર...... છે.
$\frac{{a + bx}}{{a - bx}} = \frac{{b + cx}}{{b - cx}} = \frac{{c + dx}}{{c - dx}},\,\,(x \ne 0)$ હોય તો ${\text{a, b, c}}$ અને ${\text{d}}$ એ...........
$\frac{{a + bx}}{{a - bx}} = \frac{{b + cx}}{{b - cx}} = \frac{{c + dx}}{{c - dx}},\,\,(x \ne 0)$ હોય તો ${\text{a, b, c}}$ અને ${\text{d}}$ એ...........
જો અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદોનો સરવાળો $3$ અને તેમના ઘનનો સરવાળો $\frac {27}{19}$ થાય તો આ શ્રેણીનો સમાન્ય તફાવત મેળવો.
જો અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદોનો સરવાળો $3$ અને તેમના ઘનનો સરવાળો $\frac {27}{19}$ થાય તો આ શ્રેણીનો સમાન્ય તફાવત મેળવો.
- [JEE MAIN 2019]