वास्तविक गुणांक वाले बहुपद $g ( x )$ के लिये, माना $g ( x )$ के विभिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $m _{ g }$ से दर्शाते है। माना वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों का समुच्चय $S$ है जो

$S=\left\{\left(x^2-1\right)^2\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3\right): a_0, a_1, a_2, a_3 \in R\right\}$ द्वारा परिभाषित है। बहुपद $f$ के लिये, माना $f^{\prime}$ तथा $f^{\prime \prime}$ क्रमशः इसके प्रथम तथा द्वितीय कोटि अवकलज है। तब $\left( m f^{\prime}+ m f^{\prime \prime}\right)$, जहाँ $f \in S$ का न्यूनतम संभव मान होगा

माना कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ संतत फलन है जो की अंतराल $(-1,2)$ में दो बार अवकलनीय (twice differentiable) है। माना कि $f$ और $g$ के मान, बिन्दुओं $-1,0$ और $2$ पर निम्न सारणी में दर्शाए गए है -

यदि प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $( f -3 g )$ " कभी भी शून्य का मान नही लेता है, तव सही कथन है (हैं)

$(A)$ $(-1,0) \cup(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के तीन ही हल (exactly three solutions) हैं

$(B)$ $(-1,0)$ में, $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ के एक ही हल (exactly one solutions) है

$(C)$ $(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के एक ही हल (exactly one solution ) है

$(D)$ $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ को $(-1,0)$ में दो ही हल (exactly two solutions) है और $(0,2)$ में दो ही हल है

इस प्रश्न में $[x]$ वह अधिकतम पूर्णांक है जो दी गयी वास्तविक संख्या $x$ से कम या बराबर है। दिये गए फलन $f(x)=[x] \sin \pi x$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन सा कथन उचित है:

$[-1, 1]$  पर परिभाषित फलन $f(x) = |x|$ के लिए रोले का प्रमेय लागू नहीं है, क्योंकि

फलन$f(x) = {x^3} - 6{x^2} + ax + b$ रोले प्रमेय की सभी शर्तो को अंतराल $[1, 3]$  में सन्तुष्ट करता है तब $ a $ और $ b$  के क्रमश: मान हैं

यदि $f(x) = \cos x,0 \le x \le \frac{\pi }{2}$, तो मध्यमान प्रमेय की वास्तविक संख्या $ ‘c’$  है