माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)=x^{3}-5 x^{2}-3 x,$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f(c)=0$ के लिए $c \in(1,3)$ को ज्ञात कीजिए।
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)=x^{3}-5 x^{2}-3 x,$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f(c)=0$ के लिए $c \in(1,3)$ को ज्ञात कीजिए।
The given function $f$ is $f(x)=x^{2}-5 x^{2}-3 x$
$f,$ being a polynomial function, is continuous in $[1,3],$ and is differentiable in $(1,3)$
Whose derivative is $3 x^{2}-10 x-3$
$f(1)=1^{2}-5 \times 1^{2}-3 \times 1=-7, f(3)=3^{3}-3 \times 3=27$
$\therefore \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{-27-(-7)}{3-1}=-10$
Mean Value Theorem states that there exist a point $c \in(1,3)$ such that $f^{\prime}(c)=-10$
$f^{\prime}(c)=-10$
$\Rightarrow 3 c^{2}-10 c-3=10$
$\Rightarrow 3 c^{2}-10 c+7=0$
$\Rightarrow 3 c^{2}-3 c-7 c+7=0$
$\Rightarrow 3 c(c-1)-7(c-1)=0$
$\Rightarrow(c-1)(3 c-7)=0$
$\Rightarrow c=1, \frac{7}{3}$ where $c=\frac{7}{3} \in(1,3)$
Hence, Mean Value Theorem is verified for the given function and $c=\frac{7}{3} \in(1,3)$ is the only point for which $f^{\prime}(c)=0$
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वास्तविक गुणांक वाले बहुपद $g ( x )$ के लिये, माना $g ( x )$ के विभिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $m _{ g }$ से दर्शाते है। माना वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों का समुच्चय $S$ है जो
$S=\left\{\left(x^2-1\right)^2\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3\right): a_0, a_1, a_2, a_3 \in R\right\}$ द्वारा परिभाषित है। बहुपद $f$ के लिये, माना $f^{\prime}$ तथा $f^{\prime \prime}$ क्रमशः इसके प्रथम तथा द्वितीय कोटि अवकलज है। तब $\left( m f^{\prime}+ m f^{\prime \prime}\right)$, जहाँ $f \in S$ का न्यूनतम संभव मान होगा
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- [IIT 2020]
यदि $f ^{\prime} G \left(\frac{4}{3}\right)=0$, के साथ फलन $f(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-4, x \in[1,2]$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है, तो क्रमित युग्म $( a , b )$ बराबर है
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- [JEE MAIN 2021]
जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
$f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$
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मध्यमान प्रमेय $f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$ में यदि $a = 4$, $b = 9$ तथा $f(x) = \sqrt x $ हो, तो $c$ का मान है
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$f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in [1,2]$
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