यदि $f ^{\prime} G \left(\frac{4}{3}\right)=0$, के साथ फलन $f(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-4, x \in[1,2]$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है, तो क्रमित युग्म $( a , b )$ बराबर है

मध्यमान प्रमेय $f(b) - f(a) = (b - a)f'({x_1});$   $a < {x_1} < b$ से यदि $f(x) = \frac{1}{x}$, तो${x_1} = $

यदि फलन $f(x)=2 x^{3}+ b x^{2}+ c x, x \in[-1,1]$ के लिए बिंदु $x=\frac{1}{2}$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है, तो $2 b + c$ बराबर है

यदि फलन $f(x) = {x^3} - 6{x^2} + ax + b$ रौले प्रमेय को अंतराल $[1,\,3]$ में संतुष्ट करता है और $f'\left( {\frac{{2\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 }}} \right) = 0$, तब $a =$ ..............

अंतराल $ [0, 1] $ में लैंगरेंज मध्यमान प्रमेय निम्न में से किसके लिए लागू नहीं है

मान लीजिए कि $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow R , \psi_2:[0, \infty) \rightarrow R , f:[0, \infty) \rightarrow R$ और $g :[0, \infty) \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं कि

$f(0)=g(0)=0,$

$\psi_1( x )= e ^{- x }+ x , \quad x \geq 0,$

$\psi_2( x )= x ^2-2 x -2 e ^{- x }+2, x \geq 0,$

$f( x )=\int_{- x }^{ x }\left(|t|- t ^2\right) e ^{- t ^2} dt , x >0$

और

$g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} d t, x>0$

($1$) निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है ?

$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$

$(B)$ प्रत्येक $x >1$ के लिए, एक ऐसा $\alpha \in(1, x )$ विद्यमान है जिसके लिए $\psi_1( x )=1+\alpha x$ है।

$(C)$ प्रत्येक $x >0$ के लिए, एक ऐसा $\beta \in(0, x )$ विद्यमान है जिसके लिए $\psi_2( x )=2 x \left(\psi_1(\beta)-1\right)$ है।

$(D)$ अंतराल $\left[0, \frac{3}{2}\right]$ में $f$ एक वर्धमान फलन (increasing function) है।

($2$) निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है?

$(A)$ सभी $x >0$ के लिए, $\psi_1( x ) \leq 1$ है।

$(B)$ सभी $x >0$ के लिए, $\Psi_2( x ) \leq 0$ है।

$(C)$ सभी $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ के लिए, $f( x ) \geq 1- e ^{- x ^2}-\frac{2}{3} x ^3+\frac{2}{5} x ^5$ है।

$(D)$ सभी $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ के लिए, $g ( x ) \leq \frac{2}{3} x ^3-\frac{2}{5} x ^5+\frac{1}{7} x ^7$ है।