यदि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक संतत फलन है और यदि $f^{\prime}(x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि $f(-5) \neq f(5)$
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It is given that $f:[-5,5] \rightarrow R$ is a differentiable function.
Since every differentiable function is a continuous function, we obtain
a) $f$ is continuous on $[-5,5].$
b) $f$ is continuous on $(-5,5).$
Therefore, by the Mean Value Theorem, there exists $c \in(-5,5)$ such that
$f^{\prime}(c)=\frac{f(5)-f(-5)}{5-(-5)}$
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c)=f(5)-f(-5)$
It is also given that $f^{\prime}(x)$ does not vanish anywhere.
$\therefore f^{\prime}(c) \neq 0$
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) \neq 0$
$\Rightarrow f(5)-f(-5) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) \neq f(-5)$
Hence, proved.
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माना $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2}\ln x,\,x > 0} \\
{0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0}
\end{array}} \right\}$, तब $x \in [0,1]$ के लिए $ f$ पर रोले की प्रमेय मान्य है, यदि $\alpha = $
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बहुपदों $p: R \rightarrow R$, जिसके लिए $p(0)=0$, सभी $x \neq 0$ के लिए $p(x)>x^2$ तथा $p^{\prime \prime}(0)=$ $\frac{1}{2}$ है, की संख्या होगी :
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