संतत फलनों (Continuous functions) के प्रत्येक युग्म (pair) $f , g :[0,1] \rightarrow R$ जिनके लिये अधिकतम $\{ f ( x ): x \in[0,1]\}$ = अधिकतम $\{ g ( x ): x \in[0,1]\}$ है, के लिये सत्य कथन है(हैं)

$(A)$ किसी $c \in[0,1]$ के लिये $(f(c))^2+3 f(c)=(g(c))^2+3 g(c)$

$(B)$ किसी $c \in[0,1]$ के लिये $(f(c))^2+f(c)=(g(c))^2+3 g(c)$

$(C)$ किसी $c \in[0,1]$ के लिये $(f(c))^2+3 f(c)=(g(c))^2+g(c)$

$(D)$ किसी $c \in[0,1]$ के लिये $(f(c))^2=(g(c))^2$

इस प्रश्न में $[x]$ वह अधिकतम पूर्णांक है जो दी गयी वास्तविक संख्या $x$ से कम या बराबर है। दिये गए फलन $f(x)=[x] \sin \pi x$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन सा कथन उचित है:

फलन $f(x) = {e^x},a = 0,b = 1$ के लिए मध्यमान प्रमेय में  $c$ का मान होगा

यदि फलन $f(x) = {x^3} - 6a{x^2} + 5x$ अन्तराल $ [1, 2]$  के लिए लेगराँज मध्यमान प्रमेय की शर्तों को सन्तुष्ट करता है और वक्र $y = f(x)$ की $x = \frac{7}{4}$ पर स्पर्श रेखा, वक्र की कोटियों $x = 1$ व $x = 2$ से प्रतिच्छेद बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा के समान्तर है, तब $a$ का मान है

माना कोई फलन $f$ अंतराल $[0,2]$ में संतत है तथा $(0,2)$ में दो बार अवकलनीय है। यदि $f (0)=0$, $f(1)=1$ तथा $f(2)=2$, हैं, तो

माना कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ संतत फलन है जो की अंतराल $(-1,2)$ में दो बार अवकलनीय (twice differentiable) है। माना कि $f$ और $g$ के मान, बिन्दुओं $-1,0$ और $2$ पर निम्न सारणी में दर्शाए गए है -

यदि प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $( f -3 g )$ " कभी भी शून्य का मान नही लेता है, तव सही कथन है (हैं)

$(A)$ $(-1,0) \cup(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के तीन ही हल (exactly three solutions) हैं

$(B)$ $(-1,0)$ में, $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ के एक ही हल (exactly one solutions) है

$(C)$ $(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के एक ही हल (exactly one solution ) है

$(D)$ $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ को $(-1,0)$ में दो ही हल (exactly two solutions) है और $(0,2)$ में दो ही हल है