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संतत फलनों (Continuous functions) के प्रत्येक युग्म (pair) $f , g :[0,1] \rightarrow R$ जिनके लिये अधिकतम $\{ f ( x ): x \in[0,1]\}$ = अधिकतम $\{ g ( x ): x \in[0,1]\}$ है, के लिये सत्य कथन है(हैं)
$(A)$ किसी $c \in[0,1]$ के लिये $(f(c))^2+3 f(c)=(g(c))^2+3 g(c)$
$(B)$ किसी $c \in[0,1]$ के लिये $(f(c))^2+f(c)=(g(c))^2+3 g(c)$
$(C)$ किसी $c \in[0,1]$ के लिये $(f(c))^2+3 f(c)=(g(c))^2+g(c)$
$(D)$ किसी $c \in[0,1]$ के लिये $(f(c))^2=(g(c))^2$
$(B,D)$
$(B,C)$
$(A,C)$
$(A,D)$
Solution
Consider
$h(x)=f(x)-g(n) \text { Assume } \quad a < b$
$h(a)=\lambda-g(a)>0 $
$h(b)=f(b)-\lambda<0 $
$\text { else if } a > b h(a) < 0 \text { and } h(b) > 0 .$
By intermediate value theorem $\Rightarrow h(c)=0$ $\quad\quad…….(1)$
$(A)$ $\quad( f ( c ))^2+3 f ( c )=( g ( c ))^2+3 g ( c )$
$( f ( c )- g ( c ))( f ( c )+ g ( c )+3)=0$
So there exist a ' $c$ ' : $f(c)-g(c)$
from (1).
Hence A is correct.
$(D)$ Similarly $( f ( c ))^2=( g ( c ))^2$
$(f(c)-g(c))(f(c)+g(c))=0$
$\Rightarrow \quad( D )$ is correct.
$B$ \& $C$ are wrong as by counter eg
If $f(x)=g(x)=\lambda \neq 0$, then
$B \rightarrow \lambda^2+\lambda=\lambda^2+3 \lambda$ is not possible.
$C \rightarrow \lambda^2+3 \lambda=\lambda^2+\lambda$ is not possible.
