तीन घटनाओं A, B एवं C के लिये प्रायिकताओं

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14.Probability

hard

तीन घटनाओं $A, B$ एवं $C$ के लिये प्रायिकताओं $P$ ($A$ अथवा $B$ में केवल एक घटित होती है)= $P$ ($B$ अथवा $C$ में केवल एक घटित होती है) = $P$ ($A$ अथवा $C$ में केवल एक घटित होती है)= $p$ तथा $P$ (तीनों घटनाएँ एक साथ घटित होती हैं) $ = {p^2},$ जहाँ $0 < p < 1/2$ है। तीनों घटनाओं $A, B$ और $C$ में कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता है

$\frac{{3p + 2{p^2}}}{2}$

$\frac{{p + 3{p^2}}}{4}$

$\frac{{p + 3{p^2}}}{2}$

$\frac{{3p + 2{p^2}}}{4}$

(IIT-1996)

Solution

(a) $P$ ($A$ अथवा $B$ में केवल एक घटित होती है)
= $P(A) + P(B) – 2P(A \cap B)$ (दिया है)….$(i)$
इसी प्रकार
$P$($B$ अथवा $C$ में केवल एक घटित होती है)
=$P(B) + P(C) – 2P(B \cap C) = p$…..$(ii)$
तथा $P$($A$ अथवा $C$ में केवल एक घटित होती है
$P(A) + P(C) – 2P(A \cap C) = p$ (दिया है)…..$(iii)$
$(i),$ $(ii)$ व $(iii)$ को जोड़ने पर
$P(A) + P(B) + P(C) – P(A \cap B) – P(B \cap C) – P(C \cap A) = \frac{{3p}}{2}$
…..$(iv)$
$P$ (तीनों घटनाएँ एक साथ घटित होती हैं )
$P(A \cap B \cap C) = {p^2}$ (दिया है)…..$(v)$
तीनों घटनाओं $A,\,\,B$ और $C$ में कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता)
$ = P(A \cup B \cup C)$ $ = P(A) + P(B) + P(C) – P(A \cap B) – P(B \cap C)$
$ – P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$
$ = \frac{{3p}}{2} + {p^2}$, [$(iv)$ व $(v)$ से].