वृत्त {x^2} + {y^2} = {a^2} के एक बिन्दु से, वृत्त {x^2}

English

Gujarati

Hindi

10-1.Circle and System of Circles

hard

वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ के एक बिन्दु से, वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}{\sin ^2}\alpha $ पर दो स्पर्श रेखायें खींची जाती हैं, तब उनके मध्य का कोण है

A

$\frac{\alpha }{2}$

B

$\alpha $

C

$2\alpha $

D

इनमें से कोई नहीं

Solution

(c) माना वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ पर कोई बिन्दु $(a\cos t,\,\,a\sin t)$ है तथा $\angle \,OPQ = \theta $

$PQ = $ $P$ से वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}{\sin ^2}\alpha $ पर खींची गई स्पर्श की लम्बाई

$\therefore $ $PQ = $ $\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}t + {a^2}{{\sin }^2}t – {a^2}{{\sin }^2}\alpha } $ $ = a\cos \alpha $

अब $OQ = $ वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}{\sin ^2}\alpha $ की त्रिज्या

$\therefore $ $OQ = $ $a\sin \alpha $,

$\therefore $$\tan \theta = \frac{{OQ}}{{PQ}} = \tan \alpha$

$ \Rightarrow \,\theta = \alpha $

अत: स्पर्शियों के मध्य कोण $ = \,\angle \,QPR = 2\alpha .$

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

$5$ इकाई त्रिज्या के दो वत्त एक दूसरे को बिन्दु $(1,2)$ पर स्पर्श करते हैं। यदि उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $4 x +3 y =10$ है तथा उनके केन्द्र $C _{1}(\alpha, \beta)$ और $C _{2}(\gamma, \delta), C _{1} \neq C _{2}$ हैं, तो $|(\alpha+\beta)(\gamma+\delta)|$ बराबर हैं ……….. |

hard

(JEE MAIN-2021)

वृत्त ${x^2} + {y^2} – 2x – 6y + 9 = 0$ की स्पर्श रेखा $x = 0$, अर्थात् $y$-अक्ष पर किस बिन्दु पर होगी

medium

यदि रेखा $ax + by = 0$ वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$ को स्पर्श करती है और वृत्त ${x^2} + {y^2} – 4x + 2y – 3 = 0$ का अभिलम्ब है, तब $(a,b)$ का मान है

hard

माना वृत्त $x ^2+ y ^2-4 x +3=0$ के दो बिंदुओं $A$ तथा $B$ पर स्पर्श रेखाएँ $O (0,0)$ पर मिलती हैं। तब त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल है

hard

(JEE MAIN-2022)

यदि किसी वृत्त का केन्द्र $(-6, 8)$ है एवं यह बिन्दु $(0, 0)$ से गुजरता है, तो $(0, 0)$ पर इसकी स्पर्श रेखा का समीकरण है

medium