ધારો કે પૂર્ણાકો $n$ અને $r$ માટે $\left(\begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{ }^{n} C _{ r }, & \text { if } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text { otherwise }\end{array}\right.$ છે. તો સરવાળા $\sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{c}10 \\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}15 \\ k-i\end{array}\right)+\sum_{i=0}^{k+1}\left(\begin{array}{c}12 \\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}13 \\ k+1-i\end{array}\right)$ નું અસ્તિત્વ હોય, તેવી $k$ ની મહત્તમ કિમત ...... છે.

જો $\left(1+x+2 x^{2}\right)^{20}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{40} x^{40}$ હોય તો  $a _{1}+ a _{3}+ a _{5}+\ldots+ a _{37}$ ની કિમંત મેળવો.

 ધારો કે $\alpha=\sum_{r=0}^n\left(4 r^2+2 r+1\right)^n C_r$ અને $\beta=\left(\sum_{r=0}^n \frac{{ }^n C_r}{r+1}\right)+\frac{1}{n+1} \cdot$ જો $140 < \frac{2 \alpha}{\beta}<281$ તો $n$ નું મૂલ્ય .......... છે.

$\sum\limits_{k = 0}^{10} {^{20}{C_k} = } $

જો  $\frac{{ }^{11} C_1}{2}+\frac{{ }^{11} C_2}{3}+\ldots . .+\frac{{ }^{11} C_9}{10}=\frac{n}{m}$ જ્યાં ગુ. સા. અ.  $\operatorname(n, m)=1$,હોય,તો  $n+m$ .....................

જો $C_{x} \equiv^{25} C_{x}$ અને $\mathrm{C}_{0}+5 \cdot \mathrm{C}_{1}+9 \cdot \mathrm{C}_{2}+\ldots .+(101) \cdot \mathrm{C}_{25}=2^{25} \cdot \mathrm{k}$ હોય તો  $\mathrm{k}$ મેળવો.