एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P ( X ) जो ?

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1.Relation and Function

hard

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया हुआ है। $P ( X )$ जो कि $X$ के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से $P ( X )$ में एक संबंध $R$ परिभाषित कीजिए :

$P ( X )$ में उपसमुच्चयों $A , B$ के लिए, $ARB$, यदि और केवल यदि $A \subset B$ है। क्या $R , P ( X )$ में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।

Option A

Option B

Option C

Option D

Solution

since every set is a subset of itself, $ARA $ for all $A \in P ( X )$

$\therefore R$ is reflexive.

Let $ARB \Rightarrow A \subset B$

This cannot be implied to $B \subset A$.

For instance, if $A =\{1,2\}$ and $B =\{1,2,3\},$ then it cannot be implied that $B$ is related to $A$.

$\therefore R$ is not symmetric.

Further, if $ARB$ and $BRC$, then $A \subset B$ and $B \subset C$.

$\Rightarrow A \subset C$

$\Rightarrow ARC$

$\therefore R$ is transitive.

Hence, $R$ is not an equivalence relation as it is not symmetric.

Standard 12

Mathematics

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