एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया हुआ है। $P ( X )$ जो कि $X$ के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से $P ( X )$ में एक संबंध $R$ परिभाषित कीजिए :
$P ( X )$ में उपसमुच्चयों $A , B$ के लिए, $ARB$, यदि और केवल यदि $A \subset B$ है। क्या $R , P ( X )$ में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।
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since every set is a subset of itself, $ARA $ for all $A \in P ( X )$
$\therefore R$ is reflexive.
Let $ARB \Rightarrow A \subset B$
This cannot be implied to $B \subset A$.
For instance, if $A =\{1,2\}$ and $B =\{1,2,3\},$ then it cannot be implied that $B$ is related to $A$.
$\therefore R$ is not symmetric.
Further, if $ARB$ and $BRC$, then $A \subset B$ and $B \subset C$.
$\Rightarrow A \subset C$
$\Rightarrow ARC$
$\therefore R$ is transitive.
Hence, $R$ is not an equivalence relation as it is not symmetric.
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निम्न में से कौन सा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर संबंध $R$ के लिए सही नही है ?
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माना $\mathrm{A}=\{0,3,4,6,7,8,9,10\}$ है तथा $\mathrm{A}$ पर एक संबंध $\mathrm{R}, \mathrm{R}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathrm{A} \times \mathrm{A}: \mathrm{x}-\mathrm{y}$ विषम धनात्मक पूर्णांक है या $x-y=2$ है $\}$ द्वारा परिभाषित है। संबंध $\mathrm{R}$ के सममित होने के लिए इसमें कम से कम कितनें अवयव जोड़े जाएँ ?________
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ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।
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