જો a અને c એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને ઉ?

English

Gujarati

Hindi

10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

જો $a$ અને $c$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{4{c^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{c^2}}} = 1$ ના વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9a^2$ માં ચાર ભિન્ન બિંદુઓ સામાન્ય હોય તો ....

A

$9ac -9a^2 - 2c^2 <0$

B

$6ac + 9a^2 - 2c^2 < 0$

C

$9ac -9a^2 -2c^2 > 0$

D

$6ac +9a^2 - 2c^2 >0$

(JEE MAIN-2013)

Solution

Radius $=3a$

Length of major axis $=4c$

Now, (radius)<(Half of the length of major axis)

$3a < 2c$

$9{a^2} < 4{c^2}$

$9ac – 9{a^2} > 9ac – 4{c^2}$

$9ac – 9{a^2} – 2{c^2} > 9ac – 6{c^2}\,\,\,\,\,\,\,\,……\left( i \right)$

Again $3a < 2c$

$ \Rightarrow 9ac < 6{c^2}$

$ \Rightarrow 9ac – 6{c^2} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,…..\left( {ii} \right)$

From $(i)$ and $(ii)$,

$9ac – 9{a^2} – 2{c^2} > 0$

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

જો $3 x+4 y=12 \sqrt{2}$ એ કોઈક $a \in \mathrm{R},$ માટે ઉપવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{9}=1$ નો સ્પર્શક હોય તો બંને નાભી વચ્ચેનું અંતર મેળવો.

hard

(JEE MAIN-2020)

ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રિતા $ 1/2$ છે તેનું સમીકરણ શોધો.

easy

ધારો કે $P$ એ $F_1$ અને $F_2$ નાભિઓ વાળા ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$પરનું ચલિત બિંદુ છે. જો ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $A$ હોય તો $A$ નું મહત્તમ મુલ્ય :

hard

જેનું મધ્યબિંદુ $(3,1)$ હોય, તેવી ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ ની જીવાનું સમીક૨ણ ______ છે.

medium

(JEE MAIN-2025)

કોઈ $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે, જો અતિવલય $x^{2}-y^{2} \sec ^{2} \theta=10$ ની ઉત્કેન્દ્ર્તા એ ઉપવલય $x^{2} \sec ^{2} \theta+y^{2}=5$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કરતાં $\sqrt{5}$ ગણી હોય તો ઉપવલયની નાભીલંબની લંબાઇ શોધો.

hard

(JEE MAIN-2020)