જો $R_{1}$ અને $R_{2}$ ગણ $A$ માં સામ્ય સંબંધો હોય, તો સાબિત કરો કે $R_{1} \cap R_{2}$ પણ સામ્ય સંબંધ છે.
જો $R_{1}$ અને $R_{2}$ ગણ $A$ માં સામ્ય સંબંધો હોય, તો સાબિત કરો કે $R_{1} \cap R_{2}$ પણ સામ્ય સંબંધ છે.
since $R _{1}$ and $R _{2}$ are equivalence relations, $(a, a) \in R _{1},$ and $(a, a) \in R _{2}$ $ \forall a \in A$ This implies that $(a, a) \in R _{1} \cap R _{2}, \forall a,$ showing $R _{1} \cap R _{2}$ is reflexive. Further, $(a, b) \in R _{1} \cap R _{2} \Rightarrow(a, b) \in R _{1}$ and $(a, b) \in R _{2} \Rightarrow(b, a) \in R _{1}$ and $(b, a) \in R _{2} \Rightarrow$ $(b, a) \in R_1 \cap R_2$ hence, $R _{1} \cap R _{2}$ is symmetric. Similarly, $(a, b) \in R _{1} \cap R _{2}$ and $(b, c) \in R _{1} \cap R _{2} \Rightarrow(a, c) \in R _{1}$ and $(a, c) \in R _{2} \Rightarrow(a, c) \in R _{1} \cap $ $R _{2} .$ This shows that $R _{1} \cap $ $ R _{2}$ is transitive. Thus, $R _{1} \cap $ $R _{2}$ is an equivalence relation.
Similar Questions
સાબિત કરો કે તમામ બહુકોણના ગણ $A$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R=\left\{\left(P_{1}, P_{2}\right):\right.$ $P _{1}$ અને $P _{2}$ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે. $\}$ એ સામ્ય સંબંધ છે. $3, 4$ અને $5$ લંબાઈની બાજુઓવાળા કાટકોણ ત્રિકોણ સાથે સંબંધ $R$ ધરાવતા ગણ $A$ ના તમામ ઘટકોનો ગણ શું મળશે ?
સાબિત કરો કે તમામ બહુકોણના ગણ $A$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R=\left\{\left(P_{1}, P_{2}\right):\right.$ $P _{1}$ અને $P _{2}$ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે. $\}$ એ સામ્ય સંબંધ છે. $3, 4$ અને $5$ લંબાઈની બાજુઓવાળા કાટકોણ ત્રિકોણ સાથે સંબંધ $R$ ધરાવતા ગણ $A$ ના તમામ ઘટકોનો ગણ શું મળશે ?
જો $R = \{(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)\}$ એ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ પરનો સંબંધ આપેલ હોય તો સંબંધ $R$ એ . . . . છે.
જો $R = \{(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)\}$ એ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ પરનો સંબંધ આપેલ હોય તો સંબંધ $R$ એ . . . . છે.
- [AIEEE 2004]
ધારો કે છોકરાઓની એક શાળાના બધા જ વિદ્યાર્થીઓનો ગણ $\mathrm{A}$ છે. સાબિત કરો કે ગણ $A$ પરનો સંબંધ $\mathrm{R} =\{(a, b): \mathrm{a} $ એ $\mathrm{b}$ ની બહેન છે $\}$રિક્ત સંબંધ છે અને $\mathrm{R} ^{\prime}=\{(a, b)$ $: \mathrm{a}$ અને $\mathrm{b}$ વચ્ચેની ઊંચાઈનો તફાવત $3$ મીટર કરતાં ઓછો છે. $\}$ એ સાર્વત્રિક ગણ છે.
ધારો કે છોકરાઓની એક શાળાના બધા જ વિદ્યાર્થીઓનો ગણ $\mathrm{A}$ છે. સાબિત કરો કે ગણ $A$ પરનો સંબંધ $\mathrm{R} =\{(a, b): \mathrm{a} $ એ $\mathrm{b}$ ની બહેન છે $\}$રિક્ત સંબંધ છે અને $\mathrm{R} ^{\prime}=\{(a, b)$ $: \mathrm{a}$ અને $\mathrm{b}$ વચ્ચેની ઊંચાઈનો તફાવત $3$ મીટર કરતાં ઓછો છે. $\}$ એ સાર્વત્રિક ગણ છે.
જો $R$ એ $m$ ઘટક ધરાવતા શાન્ત ગણ $A$ થી $n$ ઘટક ધરાવતા શાન્ત ગણ $B$ પરનો સંબંધ હોય તો $A$ થી $B$ પરના સંબંધની કુલ સંખ્યા મેળવો.
જો $R$ એ $m$ ઘટક ધરાવતા શાન્ત ગણ $A$ થી $n$ ઘટક ધરાવતા શાન્ત ગણ $B$ પરનો સંબંધ હોય તો $A$ થી $B$ પરના સંબંધની કુલ સંખ્યા મેળવો.
જો $R$ એ ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ હોય તો ${R^{ - 1}}$ એ . . . . થાય.
જો $R$ એ ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ હોય તો ${R^{ - 1}}$ એ . . . . થાય.