यदि x+i y=frac{a+i b}{a-i b} है तो, सिद्ध कीजिए कि x^{2}+y^{2}

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4-1.Complex numbers

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यदि $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$ है तो, सिद्ध कीजिए कि $x^{2}+y^{2}=1$

Option A

Option B

Option C

Option D

Solution

We have,

$x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

So that, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

Therefore,

$x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y)=\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1$

Standard 11

Mathematics

यदि $\mathrm{z}=\alpha+\mathrm{i} \beta,|\mathrm{z}+2|=\mathrm{z}+4(1+\mathrm{i})$, तो $\alpha+\beta$ तथा $\alpha \beta$ किस समीकरण के मूल हैं ?

hard

(JEE MAIN-2023)

यदि$z = \frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i\sqrt 3 }},$तब कोणांक $(z) = $ ………….. $^\circ$

easy

$arg\,(5 – \sqrt 3 i) = $

normal

यदि ${z_1}$, ${z_2}$दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हों कि $\left| \frac{z_1 +z_2}{z_1 – z_2} \right|=1$ , तब $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$ ऐसी संख्या है जो कि होगी

hard

यदि $z_1$ तथा ${z_2}$ दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $\left| {\frac{{{z_1} – {z_2}}}{{{z_1} + {z_2}}}} \right| = 1$ तथा $i{z_1} = k{z_2}$, जहाँ $k \in R$, तब${z_1} – {z_2}$ तथा ${z_1} + {z_2}$ के मध्य कोण है

hard

यदि $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$ है तो, सिद्ध कीजिए कि $x^{2}+y^{2}=1$

Solution

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$arg\,(5 – \sqrt 3 i) = $

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