यदि ${z_1}$, ${z_2}$दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हों कि $\left| \frac{z_1 +z_2}{z_1 - z_2} \right|=1$ , तब $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$ ऐसी संख्या है जो कि होगी

यदि $z$ पूर्णत: वास्तविक संख्या इस प्रकार हो कि ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) < 0$, तब    $arg(z)$=

$\mathrm{a} \in \mathrm{C}$ के लिए, माना

$\mathrm{A}=\{\mathrm{z} \in \mathrm{C}: \operatorname{Re}(\mathrm{a}+\overline{\mathrm{z}})>\operatorname{Im}(\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{z})\}$ तथा

$B=\{z \in C: \operatorname{Re}(a+\bar{z})<\operatorname{Im}(\bar{a}+z)\}$ हैं। तो दो कथनों :

$(S1)$ : यदि $\operatorname{Re}(\mathrm{A}), \operatorname{Im}(\mathrm{A})>0$ है, तो सभी वास्तविक संख्याएँ $A$ में हैं

$(S2)$ : यदि $\operatorname{Re}(\mathrm{A}), \operatorname{Im}(\mathrm{A})<0$ हैं, तो सभी वास्तविक संख्याएँ $\mathrm{B}$ में हैं

इनमें से

यदि $Z$ तथा $W$ दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ है कि $| ZW |=1$ तथा $\arg ( z )-\arg ( w )=\frac{\pi}{2}$, तो

माना ${z_1}$ व ${z_2}$ दो सम्मिश्र संख्यायें हैं जिनके मुख्य कोणांक $\alpha $ व $\beta $ इस प्रकार हैं कि $\alpha + \beta > \pi ,$ तो $({z_1}\,{z_2})$ का मुख्य कोणांक होगा

यदि ${z_1}$व${z_2}$दो सम्मिश्र संख्यायें इस प्रकार हों कि ${z_1} \ne {z_2}$ एवं  $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|$. यदि ${z_1}$में धनात्मक वास्तविक भाग है एवं ${z_2}$ में ऋणात्मक काल्पनिक भाग है, तो $\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} - {z_2})}}$हो सकता है